User:Xyy23330121/Python/科学计算/矩阵和多项式

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一、数组（numpy）

利用数组，我们可以简单地实现矩阵和多项式运算的功能。但我们没必要实现它，因为 numpy 已经有矩阵和多项式的功能了。

线性代数

矩阵乘法

具有两个维度的数组可以被视为是矩阵。比如

np.array(
    [1, 1],
    [0, 1])

可以被视作是矩阵 $\left({\begin{matrix}1&1\\0&1\end{matrix}}\right)$ 。

我们可以使用 numpy.matmul(a, b) 或 a @ b 来获取 a 和 b 的乘积。

numpy.matmul(a, b) 还有一些其它用处，详情参见文档。

点乘

numpy.dot(a, b, out=None) 提供了点乘的方法，该函数还有一些其它用处，详情参见文档。

除了使用该函数外，还可以通过 (a*b).sum(axis=0) 来执行点乘。

张量点乘

numpy.tensordot(a, b, axes=2) 提供了求张量点乘的方法。该方法会返回输入的参数 a 和 b 的张量积。

axes 决定了求和的维度数，它可以输入整数或含有两个元素的元组。如果 axe 为整数，则会依次对 a 的最后 axe 个维度和 b 的前 axe 个维度求和。如果 axe 为元组，则 axe 必须具有形如 (axe_a, axe_b) 的形式。其中，axe_a 和 axe_b 应当为元组、列表或其它 numpy.array_like 的子类，表示 a 和 b 中需要求和的维度。特别的：

当 axes = 0 时，运算结果等同于 $a\otimes b$
当 axes = 1 时，运算结果等同于 $a\cdot b$
当 axes = 1 时，运算结果等同于 $a:b$

多项式

https://numpy.org/doc/stable/reference/routines.polynomials.html#polynomials

在进行多项式运算时，需要先导入多项式类型。

from numpy.polynomial import Polynomial as poly

导入类型后，输入由各项系数组成的列表，来创建多项式对象。

p = poly([1, 2, 3])  #创建多项式 3x^2 + 2x + 1

多项式之间可以进行加、减、乘运算，也可以对给定的x求值。

print(p(0))  #输出：1
print(p(2))  #输出：17

插值与逼近

利用 numpy.polynomial.Polynomial 类型的 fit 方法，可以获得插值多项式或逼近多项式。

x = np.array([0, 1, 2])  #插值节点
y = np.array([0, 1, 4])

p = poly.fit(x, y, deg=x.shape[0]-1)  #获取插值多项式
print(p)                              #输出：1.0 + 2.0 (-1.0 + x) + 1.0 (-1.0 + x)**2
p = poly.fit(x, y, deg=1)             #获取一阶多项式逼近
print(p)                              #输出：1.66666667 + 2.0 (-1.0 + x)
p = poly.fit(x, y, deg=(0, 2))        #获取仅“常数项和二次项系数非零”的逼近
print(p)                              #输出：1.0 + 0.0 (-1.0 + x) + 1.0 (-1.0 + x)**2