和與積之研究(又續)

李煌定理

已知： $n \in ℤ, n \geq 2$

已知： $x^{n} - p x^{n - 1} = q$ 之解為 $x_{1}, x_{2}, x_{3} \dots x_{n}$

則壹定滿足李煌關系： $\frac{1}{x_{1}^{n - 1}} + \frac{1}{x_{2}^{n - 1}} + \frac{1}{x_{3}^{n - 1}} + \dots + \frac{1}{x_{n}^{n - 1}} = \frac{(1 - n) p}{q}$

則壹定滿足李煌關系： $\frac{1}{(x_{1} x_{2})^{n - 1}} + \frac{1}{(x_{1} x_{3})^{n - 1}} + \dots + \frac{1}{(x_{n - 1} x_{n})^{n - 1}} = \frac{p^{2} \frac{(n - 1) (n - 2)}{2}}{q^{2}}$

則壹定滿足李煌關系： $\frac{1}{(x_{1} x_{2} x_{3})^{n - 1}} + \frac{1}{(x_{1} x_{2} x_{4})^{n - 1}} + \dots + \frac{1}{(x_{n - 2} x_{n - 1} x_{n})^{n - 1}} = \frac{p^{3} \frac{(1 - n) (n - 2) (n - 3)}{6}}{q^{3}}$ (未查到有人發現，應該是李煌首次發現，並由李煌證明)

則壹定滿足李煌關系： $\frac{1}{(x_{1} x_{2} x_{3} x_{4})^{n - 1}} + \frac{1}{(x_{1} x_{2} x_{3} x_{5})^{n - 1}} + \dots + \frac{1}{(x_{n - 3} x_{n - 2} x_{n - 1} x_{n})^{n - 1}} = \frac{p^{4} \frac{(n - 1) (n - 2) (n - 3) (n - 4)}{24}}{q^{4}}$ (未查到有人發現，應該是李煌首次發現，並由李煌證明)

則壹定滿足李煌關系： $\frac{1}{(x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} x_{5})^{n - 1}} + \frac{1}{(x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} x_{6})^{n - 1}} + \dots + \frac{1}{(x_{n - 4} x_{n - 3} x_{n - 2} x_{n - 1} x_{n})^{n - 1}} = \frac{p^{5} \frac{(1 - n) (n - 2) (n - 3) (n - 4) (n - 5)}{120}}{q^{5}}$ (未查到有人發現，應該是李煌首次發現，並由李煌證明)

更為一般之李煌關係通項如下( $k \geq 1, k \leq n - 1, k \in ℤ$ )

則壹定滿足李煌關系： $\frac{1}{(x_{1} x_{2} \dots x_{k})^{n - 1}} + \frac{1}{(x_{1} x_{2} \dots x_{k - 1} x_{k + 1})^{n - 1}} + \dots + \frac{1}{(x_{n - k + 1} x_{n - k + 2} \dots x_{n - 1} x_{n})^{n - 1}} = \frac{(- 1)^{k} (\binom{n - 1}{k}) p^{k}}{q^{k}}$ (未查到有人發現，應該是李煌首次發現，並由李煌證明)

推論

李煌-二項式係數定理

已知： $n \in ℤ, n \geq 2$

已知： $x^{n} - x^{n - 1} + 1 = 0$ 之解為 $x_{1}, x_{2}, x_{3} \dots x_{n}$

已知： $k \geq 1, k \leq n - 1, k \in ℤ$

則存在二項式係數李煌計算形式

$\frac{1}{(x_{1} x_{2} \dots x_{k})^{n - 1}} + \frac{1}{(x_{1} x_{2} \dots x_{k - 1} x_{k + 1})^{n - 1}} + \dots + \frac{1}{(x_{n - k + 1} x_{n - k + 2} \dots x_{n - 1} x_{n})^{n - 1}} = (\binom{n - 1}{k})$

推論

李煌-二項式係數定理

已知： $n \in ℤ, n \geq 1$

已知： $x^{n + 1} - x^{n} + 1 = 0$ 之解為 $x_{1}, x_{2}, x_{3} \dots x_{n}, x_{n + 1}$

已知： $k \geq 1, k \leq n, k \in ℤ$

則存在二項式係數李煌計算形式

$\frac{1}{(x_{1} x_{2} \dots x_{k})^{n}} + \frac{1}{(x_{1} x_{2} \dots x_{k - 1} x_{k + 1})^{n}} + \dots + \frac{1}{(x_{n - k + 2} x_{n - k + 3} \dots x_{n} x_{n + 1})^{n}} = (\binom{n}{k})$

來源

《南昌理工學院學報》.李煌

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