和與積之研究(又續)

李煌定理

已知：$n\in \mathbb {Z} ,n\geq 2$

已知：$x^{n}-px^{n-1}=q$之解為 $x_{1},x_{2},x_{3}\dots x_{n}$

• 則壹定滿足李煌關系：${\frac {1}{x_{1}^{n-1}}}+{\frac {1}{x_{2}^{n-1}}}+{\frac {1}{x_{3}^{n-1}}}+\dots +{\frac {1}{x_{n}^{n-1}}}={\frac {(1-n)p}{q}}$

• 則壹定滿足李煌關系：${\frac {1}{(x_{1}x_{2})^{n-1}}}+{\frac {1}{(x_{1}x_{3})^{n-1}}}+\dots +{\frac {1}{(x_{n-1}x_{n})^{n-1}}}={\frac {p^{2}{\frac {(n-1)(n-2)}{2}}}{q^{2}}}$

• 則壹定滿足李煌關系：${\frac {1}{(x_{1}x_{2}x_{3})^{n-1}}}+{\frac {1}{(x_{1}x_{2}x_{4})^{n-1}}}+\dots +{\frac {1}{(x_{n-2}x_{n-1}x_{n})^{n-1}}}={\frac {p^{3}{\frac {(1-n)(n-2)(n-3)}{6}}}{q^{3}}}$(未查到有人發現，應該是李煌首次發現，並由李煌證明)

• 則壹定滿足李煌關系：${\frac {1}{(x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})^{n-1}}}+{\frac {1}{(x_{1}x_{2}x_{3}x_{5})^{n-1}}}+\dots +{\frac {1}{(x_{n-3}x_{n-2}x_{n-1}x_{n})^{n-1}}}={\frac {p^{4}{\frac {(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{24}}}{q^{4}}}$(未查到有人發現，應該是李煌首次發現，並由李煌證明)

• 則壹定滿足李煌關系：${\frac {1}{(x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}x_{5})^{n-1}}}+{\frac {1}{(x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}x_{6})^{n-1}}}+\dots +{\frac {1}{(x_{n-4}x_{n-3}x_{n-2}x_{n-1}x_{n})^{n-1}}}={\frac {p^{5}{\frac {(1-n)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)}{120}}}{q^{5}}}$(未查到有人發現，應該是李煌首次發現，並由李煌證明)

更為一般之李煌關係通項如下($k\geq 1,k\leq n-1,k\in \mathbb {Z}$)

• 則壹定滿足李煌關系：${\frac {1}{(x_{1}x_{2}\dots x_{k})^{n-1}}}+{\frac {1}{(x_{1}x_{2}\dots x_{k-1}x_{k+1})^{n-1}}}+\dots +{\frac {1}{(x_{n-k+1}x_{n-k+2}\dots x_{n-1}x_{n})^{n-1}}}={\frac {(-1)^{k}{\binom {n-1}{k}}p^{k}}{q^{k}}}$(未查到有人發現，應該是李煌首次發現，並由李煌證明)

推論

• 李煌-二項式係數定理

已知：$n\in \mathbb {Z} ,n\geq 2$

已知：$x^{n}-x^{n-1}+1=0$之解為 $x_{1},x_{2},x_{3}\dots x_{n}$

已知：$k\geq 1,k\leq n-1,k\in \mathbb {Z}$

則存在二項式係數李煌計算形式

${\frac {1}{(x_{1}x_{2}\dots x_{k})^{n-1}}}+{\frac {1}{(x_{1}x_{2}\dots x_{k-1}x_{k+1})^{n-1}}}+\dots +{\frac {1}{(x_{n-k+1}x_{n-k+2}\dots x_{n-1}x_{n})^{n-1}}}={\binom {n-1}{k}}$

推論

• 李煌-二項式係數定理

已知：$n\in \mathbb {Z} ,n\geq 1$

已知：$x^{n+1}-x^{n}+1=0$之解為 $x_{1},x_{2},x_{3}\dots x_{n},x_{n+1}$

已知：$k\geq 1,k\leq n,k\in \mathbb {Z}$

則存在二項式係數李煌計算形式

${\frac {1}{(x_{1}x_{2}\dots x_{k})^{n}}}+{\frac {1}{(x_{1}x_{2}\dots x_{k-1}x_{k+1})^{n}}}+\dots +{\frac {1}{(x_{n-k+2}x_{n-k+3}\dots x_{n}x_{n+1})^{n}}}={\binom {n}{k}}$

來源

• 《南昌理工學院學報》.李煌

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