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集合與簡易邏輯

來自維基學院

集合[編輯 | 編輯原始碼]

基本概念
把一些確定的對象看成一個整體就形成了一個集合,集合常用大寫字母表示;集合里的各個對象叫做集合的元素,通常用小寫字母表示。
集合元素的性質:
  1. 確定性:每一個對象都能確定是不是某一集合的元素,沒有確定性就不能成為集合,例如「個子高的同學」「很小的數」都不能構成集合。這個性質主要用於判斷一個集合是否能形成集合。
  2. 互異性:集合中任意兩個元素都是不同的對象。如寫成{1,1,2},等同於{1,2}。互異性使集合中的元素是沒有重複,兩個相同的對象在同一個集合中時,只能算作這個集合的一個元素。
  3. 無序性:{a,b,c}{c,b,a}是同一個集合。
  4. 純粹性:所謂集合的純粹性,用個例子來表示:集合A={x|x<2},集合A中所有的元素都要符合x<2,這就是集合純粹性。
  5. 完備性:仍用上面的例子,所有符合x<2的數都在集合A中,這就是集合完備性。完備性與純粹性是遙相呼應的。

相互關係[編輯 | 編輯原始碼]

元素與集合的關係:
元素與集合的關係有「屬於」(∈)和「不屬於」(∉)兩種。
集合與集合之間的關係:
某些指定的對象集在一起就成為一個集合。
  • 含有有限個元素叫有限集;
  • 含有無限個元素叫無限集;
  • 不含任何元素的集叫「空集」,記做「Φ」,
    空集是任何集合的子集,
    空集是任何非空集的真子集;
  • 任何集合是它本身的子集
  • 子集,真子集都具有傳遞性。

集合的表示[編輯 | 編輯原始碼]

集合的表示方法
集合常用大寫拉丁字母來表示,如:A,B,C…集合中的元素則用小寫的拉丁字母來表示,如:a,b,c…拉丁字母只是相當於集合的名字,沒有任何實際的意義。將拉丁字母賦給集合的方法是用一個等式來表示的,例如:A={…}的形式。等號左邊是大寫的拉丁字母,右邊花括號括起來的,括號內部是具有某種 共同性質的數學元素。
有多種方法表示集合,其中常用的有列舉法和描述法:
  1. 列舉法:常用於表示有限集合,把集合中的所有元素一一列舉出來﹐寫在大括號內﹐這種表示集合的方法叫做列舉法。{1,2,3,……}
  2. 描述法:常用於表示無限集合,把集合中元素的公共屬性用文字﹐符號或式子等描述出來﹐寫在大括號內﹐這種表示集合的方法叫做描述法。{x|P}(x為該集 合的元素的一般形式,P為這個集合的元素的共同屬性)如:小於π的正實數組成的集合表示為:{x|0<x<π}
  3. 圖式法(Venn圖):為了形象表示集合,我們常常畫一條封閉的曲線(或者說圓圈),用它的內部表示一個集合。
  4. 自然語言
特殊集合的表示
  1. 全體非負整數的集合通常簡稱非負整數集(或自然數集),記作
  2. 非負整數集內排除0的集,也稱正整數集,記作
  3. 全體整數的集合通常稱作整數集,記作
  4. 全體有理數的集合通常簡稱有理數集,記作
    ={|p∈Z,q∈N,且p,q互質}
  5. 全體實數的集合通常簡稱實數集,記作
  6. 複數集合記作

運算與法則[編輯 | 編輯原始碼]

集合的三種運算法則
  • 併集:以屬於A或屬於B的元素為元素的集合稱為A與B的並(集),記作A∪B(或B∪A),讀作「A並B」(或「B並A」),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}
  • 交集:以屬於A且屬於B的元素為元素的集合稱為A與B的交(集),記作A∩B(或B∩A),讀作「A交B」(或「B交A」),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}
  • 補集:是從差集中引出的概念,指屬於全集U不屬於集合A的元素組成的集合稱為集合A的補集,記作CuA,即CuA={x|x∈U,且x不屬於A}
  • 在研究集合時,會遇到有關集合中的元素個數問題,我們把有限集合A的元素個數記為card(A)。例如A={a,b,c},則card(A)=3
    • card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)
    • card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C)
  • 集合吸收律:
    A∪(A∩B)=A
    A∩(A∪B)=A
  • 集合求補律:
    A∪CuA=U
    A∩CuA=Φ
  • 設A為集合,把A的全部子集構成的集合叫做A的冪集
    德摩根律 A-(BUC)=(A-B)∩(A-C)
    A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C)
    Cu(BUC)=CuB∩CuC
    Cu(B∩C)=CuB∪CuC
    ~Φ=E ~E=Φ