集合與簡易邏輯

集合

基本概念

把一些確定的對象看成一個整體就形成了一個集合，集合常用大寫字母表示；集合里的各個對象叫做集合的元素，通常用小寫字母表示。

集合元素的性質：

1. 確定性：每一個對象都能確定是不是某一集合的元素，沒有確定性就不能成為集合，例如「個子高的同學」「很小的數」都不能構成集合。這個性質主要用於判斷一個集合是否能形成集合。
2. 互異性：集合中任意兩個元素都是不同的對象。如寫成{1，1，2}，等同於{1，2}。互異性使集合中的元素是沒有重複，兩個相同的對象在同一個集合中時，只能算作這個集合的一個元素。
3. 無序性：{a,b,c}{c,b,a}是同一個集合。
4. 純粹性：所謂集合的純粹性，用個例子來表示：集合A={x|x<2}，集合A中所有的元素都要符合x<2，這就是集合純粹性。
5. 完備性：仍用上面的例子，所有符合x<2的數都在集合A中，這就是集合完備性。完備性與純粹性是遙相呼應的。

相互關係

元素與集合的關係：

元素與集合的關係有「屬於」（∈）和「不屬於」（∉）兩種。

集合與集合之間的關係：

某些指定的對象集在一起就成為一個集合。

• 含有有限個元素叫有限集；
• 含有無限個元素叫無限集；
• 不含任何元素的集叫「空集」，記做「Φ」，

  空集是任何集合的子集，

  空集是任何非空集的真子集；

• 任何集合是它本身的子集
• 子集，真子集都具有傳遞性。

集合的表示

集合的表示方法

集合常用大寫拉丁字母來表示，如：A，B，C…集合中的元素則用小寫的拉丁字母來表示，如：a,b,c…拉丁字母只是相當於集合的名字，沒有任何實際的意義。將拉丁字母賦給集合的方法是用一個等式來表示的，例如：A={…}的形式。等號左邊是大寫的拉丁字母，右邊花括號括起來的，括號內部是具有某種 共同性質的數學元素。

有多種方法表示集合，其中常用的有列舉法和描述法：

1. 列舉法：常用於表示有限集合，把集合中的所有元素一一列舉出來﹐寫在大括號內﹐這種表示集合的方法叫做列舉法。{1，2，3，……}
2. 描述法：常用於表示無限集合，把集合中元素的公共屬性用文字﹐符號或式子等描述出來﹐寫在大括號內﹐這種表示集合的方法叫做描述法。{x|P}（x為該集 合的元素的一般形式，P為這個集合的元素的共同屬性）如：小於π的正實數組成的集合表示為：{x|0<x<π}
3. 圖式法（Venn圖）：為了形象表示集合，我們常常畫一條封閉的曲線（或者說圓圈），用它的內部表示一個集合。
4. 自然語言

特殊集合的表示

1. 全體非負整數的集合通常簡稱非負整數集（或自然數集），記作$\mathbb {N}$
2. 非負整數集內排除0的集，也稱正整數集，記作$\mathbb {N} _{\mathbb {+} }$或$\mathbb {N} ^{\mathbb {*} }$
3. 全體整數的集合通常稱作整數集，記作$\mathbb {Z}$
4. 全體有理數的集合通常簡稱有理數集，記作$\mathbb {Q}$

   $\mathbb {Q}$={${\tfrac {p}{q}}$|p∈Z，q∈N,且p,q互質}

5. 全體實數的集合通常簡稱實數集，記作$\mathbb {R}$
6. 複數集合記作$\mathbb {C}$

運算與法則

集合的三種運算法則

• 併集：以屬於A或屬於B的元素為元素的集合稱為A與B的並（集），記作A∪B（或B∪A），讀作「A並B」（或「B並A」），即A∪B={x|x∈A,或x∈B}
• 交集：以屬於A且屬於B的元素為元素的集合稱為A與B的交（集），記作A∩B（或B∩A），讀作「A交B」（或「B交A」），即A∩B={x|x∈A,且x∈B}
• 補集：是從差集中引出的概念，指屬於全集U不屬於集合A的元素組成的集合稱為集合A的補集，記作CuA，即CuA={x|x∈U,且x不屬於A}

• 在研究集合時，會遇到有關集合中的元素個數問題，我們把有限集合A的元素個數記為card(A)。例如A={a,b,c}，則card(A)=3

  • card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)
  • card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C)

• 集合吸收律：

  A∪(A∩B)=A

  A∩(A∪B)=A

• 集合求補律：

  A∪CuA=U

  A∩CuA=Φ

• 設A為集合，把A的全部子集構成的集合叫做A的冪集

  德摩根律 A-(BUC)=（A-B)∩(A-C)

  A-(B∩C)=（A-B)∪(A-C)

  Cu（BUC)=CuB∩CuC

  Cu（B∩C)=CuB∪CuC

  ~Φ=E ~E=Φ