集合与简易逻辑

集合

基本概念

把一些确定的对象看成一个整体就形成了一个集合，集合常用大写字母表示；集合里的各个对象叫做集合的元素，通常用小写字母表示。

集合元素的性质：

1. 确定性：每一个对象都能确定是不是某一集合的元素，没有确定性就不能成为集合，例如“个子高的同学”“很小的数”都不能构成集合。这个性质主要用于判断一个集合是否能形成集合。
2. 互异性：集合中任意两个元素都是不同的对象。如写成{1，1，2}，等同于{1，2}。互异性使集合中的元素是没有重复，两个相同的对象在同一个集合中时，只能算作这个集合的一个元素。
3. 无序性：{a,b,c}{c,b,a}是同一个集合。
4. 纯粹性：所谓集合的纯粹性，用个例子来表示：集合A={x|x<2}，集合A中所有的元素都要符合x<2，这就是集合纯粹性。
5. 完备性：仍用上面的例子，所有符合x<2的数都在集合A中，这就是集合完备性。完备性与纯粹性是遥相呼应的。

相互关系

元素与集合的关系：

元素与集合的关系有“属于”（∈）和“不属于”（∉）两种。

集合与集合之间的关系：

某些指定的对象集在一起就成为一个集合。

• 含有有限个元素叫有限集；
• 含有无限个元素叫无限集；
• 不含任何元素的集叫“空集”，记做“Φ”，

  空集是任何集合的子集，

  空集是任何非空集的真子集；

• 任何集合是它本身的子集
• 子集，真子集都具有传递性。

集合的表示

集合的表示方法

集合常用大写拉丁字母来表示，如：A，B，C…集合中的元素则用小写的拉丁字母来表示，如：a,b,c…拉丁字母只是相当于集合的名字，没有任何实际的意义。将拉丁字母赋给集合的方法是用一个等式来表示的，例如：A={…}的形式。等号左边是大写的拉丁字母，右边花括号括起来的，括号内部是具有某种 共同性质的数学元素。

有多种方法表示集合，其中常用的有列举法和描述法：

1. 列举法：常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做列举法。{1，2，3，……}
2. 描述法：常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字﹐符号或式子等描述出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做描述法。{x|P}（x为该集 合的元素的一般形式，P为这个集合的元素的共同属性）如：小于π的正实数组成的集合表示为：{x|0<x<π}
3. 图式法（Venn图）：为了形象表示集合，我们常常画一条封闭的曲线（或者说圆圈），用它的内部表示一个集合。
4. 自然语言

特殊集合的表示

1. 全体非负整数的集合通常简称非负整数集（或自然数集），记作$\mathbb {N}$
2. 非负整数集内排除0的集，也称正整数集，记作$\mathbb {N} _{\mathbb {+} }$或$\mathbb {N} ^{\mathbb {*} }$
3. 全体整数的集合通常称作整数集，记作$\mathbb {Z}$
4. 全体有理数的集合通常简称有理数集，记作$\mathbb {Q}$

   $\mathbb {Q}$={${\tfrac {p}{q}}$|p∈Z，q∈N,且p,q互质}

5. 全体实数的集合通常简称实数集，记作$\mathbb {R}$
6. 复数集合记作$\mathbb {C}$

运算与法则

集合的三种运算法则

• 并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并（集），记作A∪B（或B∪A），读作“A并B”（或“B并A”），即A∪B={x|x∈A,或x∈B}
• 交集：以属于A且属于B的元素为元素的集合称为A与B的交（集），记作A∩B（或B∩A），读作“A交B”（或“B交A”），即A∩B={x|x∈A,且x∈B}
• 补集：是从差集中引出的概念，指属于全集U不属于集合A的元素组成的集合称为集合A的补集，记作CuA，即CuA={x|x∈U,且x不属于A}

• 在研究集合时，会遇到有关集合中的元素个数问题，我们把有限集合A的元素个数记为card(A)。例如A={a,b,c}，则card(A)=3

  • card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)
  • card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C)

• 集合吸收律：

  A∪(A∩B)=A

  A∩(A∪B)=A

• 集合求补律：

  A∪CuA=U

  A∩CuA=Φ

• 设A为集合，把A的全部子集构成的集合叫做A的幂集

  德摩根律 A-(BUC)=（A-B)∩(A-C)

  A-(B∩C)=（A-B)∪(A-C)

  Cu（BUC)=CuB∩CuC

  Cu（B∩C)=CuB∪CuC

  ~Φ=E ~E=Φ