函數與映射

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映射[編輯 | 編輯原始碼]

假設我們有X、Y兩個非空集合,X中的每個元素為x,Y中的每個元素為y。每一個x可以和Y中的一個確定的y對應,而它們之間的關係則用ƒ來指代。那麼我們就可以稱ƒ是X到Y的映射,並將其寫為ƒ:X→Y。當我們想要用x來表達y時,就可以用ƒ(x)來表示,代表y=ƒ(x)。這個情況下,y就是x的像,x就是y的原像。

含有x的集合X,即為ƒ的定義域(Domain),我們可以記作Dƒ;所有x所對應的ƒ(x)所集成的集合,即為ƒ的值域(Range),我們可以記作Rƒ。於是,我們可以這麼表達映射ƒ的值域Rƒ:Rƒ=ƒ(X)={ ƒ(x) | x X}

我們已知ƒ是X到Y的映射,那麼當Y=Rƒ並且任意y都是X中一個x的像的時候,ƒ就可以稱為X到Y的滿射;如果X中任意兩個元素x1和x2不等並且ƒ(x1)≠ƒ(x2),ƒ就可以稱為X到Y的單射。若ƒ既是滿射又是單射,則ƒ可以稱為雙射。

上述所說的映射又可稱為算子,而不同情況下的映射有不同的專用名詞,從非空集X到數集Y的映射可稱為泛函,從非空集X到X自己的映射可稱為變換,本章節將會說的函數也是其中一種,指代從實數集X到實數集Y的映射。

複合映射[編輯 | 編輯原始碼]

我們先設有X到Y的單射ƒ,那麼每一個y∈Rƒ,都對應了一個x∈X,即ƒ(x)=y。在此基礎上,我們將Rƒ到X的映射稱為g,可寫作:g:Rƒ→X。於是每一個y∈Rƒ有x=g(y),這樣一來我們就可以把算子g稱為ƒ的逆映射,並可記作ƒ-1。你可能對文字的敘述不太清楚,那麼下一個例子將會說明逆映射與映射之關係。

假設有映射ƒ:[-π/2,π/2]→[-1,1],則ƒ(x)=sin x,Dƒ=[-π/2,π/2],Rƒ=[-1,1]

那麼ƒ就有逆映射ƒ-1(x)=arcsin x,Dƒ=[-1,1],Rƒ=[-π/2,π/2]

我們再設有X到Y1的映射g以及從Y2到Z的映射ƒ,如果Y1⊂Y2,那麼我們可以通過結合g和ƒ來利用X直接映射到Z。準確的來說,就是每個x∈X映射為ƒ(g(x))∈Z。如此一來,我們就可以稱這個映射為一個複合映射,並寫為ƒ·g: X→Z,(ƒ·g)(x)=ƒ(g(x)),x∈X。

這裏需要注意一個點,那就是ƒ·g並不能寫為g·ƒ,由於Rg⊂Dƒ,如果兩個映射的順序顛倒,則複合映射ƒ·g無法成立,反過來說g·ƒ也是同理。

函數[編輯 | 編輯原始碼]

我們設有自變量x,因變量y,並定義X的定義域為R,則函數的表達可以記作:y=ƒ(x), xR。

圖1:為函數ƒ(x)的圖形,我們可以用坐標(x,y)來表示其中的任意一點,而這個函數的值域如圖所示為1至無窮大,可寫為Rƒ∈[1,∞)

在這個函數中,每一個ƒ定義域中的x總是有一個y是與其相對應的,這些y便會被稱為ƒ在x處的函數值。當我們使用函數時,通常會遇到兩種定義域。一種為上述幾種例子中用到的R這樣的代表實數範圍的定義域,它們被稱為自然定義域;另一種則是人為定義的定義域,顧名思義,假設我們有一個函數用來描述一個球在不同時間的空間位置,那麼我們的定義域下限和上限就有了規定,這樣的定義域區間代表了它需要依靠函數的背景情況來確定。

函數的表達[編輯 | 編輯原始碼]

相信已經在中學的數學教程中已經熟知了表達函數的方法:圖形、表格、解析。我們這裏再基於高等數學的基礎重新解釋一遍。

圖形法是最為鮮明的一種表達方式,可以理解為是將點集搬運到了平面坐標繫上。設我們有一點集{P(x,y)|y=ƒ(x),x∈D},這就是函數y=ƒ(x)的圖形。

通過圖形觀察到的函數對於我們而言更容易理解,並且函數的幾種特性也可以通過圖形的分析展示出來。

首先我們來說一下函數的有界性。設ƒ(x)有定義域D,X⊂D,並且有一個數K1大於等於ƒ(x)、另一個數K2小於等於ƒ(x)。那麼K1就是ƒ(x)的上界,K2就是其下界,在圖例中,我們就可以看到y的下界為1。如果再設一個數M大於等於ƒ(x)的絕對值,那麼我們可以稱ƒ(x)在X上有界,M即為這個界。相反的如果無法規定M滿足此條件,則ƒ(x)無界。

接下來說函數的單調性。設ƒ(x)有定義域D,有區間I⊂D。如果在此區間內取任意兩點x1、x2,並且x1<x2,當ƒ(x1)<ƒ(x2)時,此函數可說是單調增加的;若ƒ(x1)>ƒ(x2),則可說它是單調減少的。這兩種函數可以統稱為單調函數。

函數中還有一個重要的屬性-奇偶性。首先看圖2,它是一個非常基本的函數ƒ(x)=4x2的圖形,而圖3是ƒ(-x)的圖形,我們可以看出兩者明顯一摸一樣。那麼為了表達這種規律,我們這時候就可以說對於任意x∈D,若是ƒ(x)=ƒ(-x),則函數ƒ(x)就是一個偶函數。

圖2
圖3


同樣的,當我們看下面兩圖,分別標註為-ƒ(x)和ƒ(-x),但是兩者的圖形是一致的,為表達這種齊一性,我們這時候就可以說對於任意x∈D,若是-ƒ(x)=ƒ(-x),則函數ƒ(x)就是一個奇函數。

圖4
圖5


總而言之,偶函數的圖形關於y軸是對稱的,而ƒ(x)=ƒ(-x)便是這一特徵的函數表達,如果我們有點A坐標為(x,ƒ(x)),則其關於y對稱的點A'必然在坐標(-x,ƒ(x))上,這兩個點也都是函數ƒ(x)上的一點。奇函數的圖形則是關於原點對稱的,而-ƒ(x)=ƒ(-x)便是這一特徵的函數表達,如果我們有點A在坐標(x,ƒ(x))上,那麼關於原點對稱的點A''必然在坐標(-x,-ƒ(x))上,這兩個點也都是函數ƒ(x)上的一點。

需要注意的是,當我們判定三角函數時,例如y=sinx+cosx,這一函數既非奇函數,也非偶函數。

在知道了函數的奇偶性後,我們再來看另一種形式的函數-周期函數。設我們有函數ƒ(x),其定義域為D,若有正數l可以使任意x∈D有(xl)∈D,並且ƒ(x+l)=ƒ(x)。那麼,我們就可以稱ƒ(x)為周期函數,l就是ƒ(x)的周期,這個周期一般是其最小正周期。

常見的周期函數就有三角函數,如ƒ(x)=sinx或ƒ(x)=cosx。

當然周期函數在某些特定情況下沒有最小正周期,最為典型的例子就是Dirichlet函數,在其中任何正有理數都是周期,而我們知道正有理數不存在最小,因此此函數的周期也無法成為最小正周期。

反函數[編輯 | 編輯原始碼]

一般我們接觸正函數,比如說有單射ƒ:X→ƒ(X),那麼當我們說逆映射的時候,就有ƒ-1:ƒ(X)→X,ƒ-1在此定義下就是ƒ的反函數。如此一來我們可以得知,對每個y∈ƒ(X),有唯一的x∈X,並使ƒ(x)=y,可以寫作:ƒ-1(y)=x。