函數與映射

映射

假設我們有X、Y兩個非空集合，X中的每個元素為x，Y中的每個元素為y。每一個x可以和Y中的一個確定的y對應，而它們之間的關係則用ƒ來指代。那麼我們就可以稱ƒ是X到Y的映射，並將其寫為ƒ:X→Y。當我們想要用x來表達y時，就可以用ƒ(x)來表示，代表y=ƒ(x)。這個情況下，y就是x的像，x就是y的原像。

含有x的集合X，即為ƒ的定義域(Domain)，我們可以記作D_ƒ；所有x所對應的ƒ(x)所集成的集合，即為ƒ的值域(Range)，我們可以記作R_ƒ。於是，我們可以這麼表達映射ƒ的值域R_ƒ：R_ƒ=ƒ(X)={ ƒ(x) | x $\in$ X}

我們已知ƒ是X到Y的映射，那麼當Y=R_ƒ並且任意y都是X中一個x的像的時候，ƒ就可以稱為X到Y的滿射；如果X中任意兩個元素x₁和x₂不等並且ƒ(x₁)≠ƒ(x₂)，ƒ就可以稱為X到Y的單射。若ƒ既是滿射又是單射，則ƒ可以稱為雙射。

上述所說的映射又可稱為算子，而不同情況下的映射有不同的專用名詞，從非空集X到數集Y的映射可稱為泛函，從非空集X到X自己的映射可稱為變換，本章節將會說的函數也是其中一種，指代從實數集X到實數集Y的映射。

複合映射

我們先設有X到Y的單射ƒ，那麼每一個y∈R_ƒ，都對應了一個x∈X，即ƒ(x)=y。在此基礎上，我們將R_ƒ到X的映射稱為g，可寫作：g:R_ƒ→X。於是每一個y∈R_ƒ有x=g(y)，這樣一來我們就可以把算子g稱為ƒ的逆映射，並可記作ƒ^-1。你可能對文字的敘述不太清楚，那麼下一個例子將會說明逆映射與映射之關係。

假設有映射ƒ:[-π/2,π/2]→[-1,1]，則ƒ(x)=sin x，D_ƒ=[-π/2,π/2]，R_ƒ=[-1,1]

那麼ƒ就有逆映射ƒ^-1(x)=arcsin x，D_ƒ=[-1,1]，R_ƒ=[-π/2,π/2]

我們再設有X到Y₁的映射g以及從Y₂到Z的映射ƒ，如果Y₁⊂Y₂，那麼我們可以通過結合g和ƒ來利用X直接映射到Z。準確的來說，就是每個x∈X映射為ƒ(g(x))∈Z。如此一來，我們就可以稱這個映射為一個複合映射，並寫為ƒ·g: X→Z，(ƒ·g)(x)=ƒ(g(x))，x∈X。

這裡需要注意一個點，那就是ƒ·g並不能寫為g·ƒ，由於R_g⊂D_ƒ，如果兩個映射的順序顛倒，則複合映射ƒ·g無法成立，反過來說g·ƒ也是同理。

函數

我們設有自變量x，因變量y，並定義X的定義域為R，則函數的表達可以記作：y=ƒ(x), x $\in$ R。

在這個函數中，每一個ƒ定義域中的x總是有一個y是與其相對應的，這些y便會被稱為ƒ在x處的函數值。當我們使用函數時，通常會遇到兩種定義域。一種為上述幾種例子中用到的R這樣的代表實數範圍的定義域，它們被稱為自然定義域；另一種則是人為定義的定義域，顧名思義，假設我們有一個函數用來描述一個球在不同時間的空間位置，那麼我們的定義域下限和上限就有了規定，這樣的定義域區間代表了它需要依靠函數的背景情況來確定。

函數的表達

相信已經在中學的數學教程中已經熟知了表達函數的方法：圖形、表格、解析。我們這裡再基於高等數學的基礎重新解釋一遍。

圖形法是最為鮮明的一種表達方式，可以理解為是將點集搬運到了平面坐標繫上。設我們有一點集{P(x,y)|y=ƒ(x),x∈D}，這就是函數y=ƒ(x)的圖形。

通過圖形觀察到的函數對於我們而言更容易理解，並且函數的幾種特性也可以通過圖形的分析展示出來。

首先我們來說一下函數的有界性。設ƒ(x)有定義域D，X⊂D，並且有一個數K₁大於等於ƒ(x)、另一個數K₂小於等於ƒ(x)。那麼K₁就是ƒ(x)的上界，K₂就是其下界，在圖例中，我們就可以看到y的下界為1。如果再設一個數M大於等於ƒ(x)的絕對值，那麼我們可以稱ƒ(x)在X上有界，M即為這個界。相反的如果無法規定M滿足此條件，則ƒ(x)無界。

接下來說函數的單調性。設ƒ(x)有定義域D，有區間I⊂D。如果在此區間內取任意兩點x₁、x₂，並且x₁<x₂，當ƒ(x₁)<ƒ(x₂)時，此函數可說是單調增加的；若ƒ(x₁)>ƒ(x₂)，則可說它是單調減少的。這兩種函數可以統稱為單調函數。

函數中還有一個重要的屬性-奇偶性。首先看圖2，它是一個非常基本的函數ƒ(x)=4x²的圖形，而圖3是ƒ(-x)的圖形，我們可以看出兩者明顯一摸一樣。那麼為了表達這種規律，我們這時候就可以說對於任意x∈D，若是ƒ(x)=ƒ(-x)，則函數ƒ(x)就是一個偶函數。

同樣的，當我們看下面兩圖，分別標註為-ƒ(x)和ƒ(-x)，但是兩者的圖形是一致的，為表達這種齊一性，我們這時候就可以說對於任意x∈D，若是-ƒ(x)=ƒ(-x)，則函數ƒ(x)就是一個奇函數。

總而言之，偶函數的圖形關於y軸是對稱的，而ƒ(x)=ƒ(-x)便是這一特徵的函數表達，如果我們有點A坐標為(x,ƒ(x))，則其關於y對稱的點A'必然在坐標(-x,ƒ(x))上，這兩個點也都是函數ƒ(x)上的一點。奇函數的圖形則是關於原點對稱的，而-ƒ(x)=ƒ(-x)便是這一特徵的函數表達，如果我們有點A在坐標(x,ƒ(x))上，那麼關於原點對稱的點A''必然在坐標(-x,-ƒ(x))上，這兩個點也都是函數ƒ(x)上的一點。

需要注意的是，當我們判定三角函數時，例如y=sinx+cosx，這一函數既非奇函數，也非偶函數。

在知道了函數的奇偶性後，我們再來看另一種形式的函數-周期函數。設我們有函數ƒ(x)，其定義域為D，若有正數l可以使任意x∈D有(x $\pm$ l)∈D，並且ƒ(x+l)=ƒ(x)。那麼，我們就可以稱ƒ(x)為周期函數，l就是ƒ(x)的周期，這個周期一般是其最小正周期。

常見的周期函數就有三角函數，如ƒ(x)=sinx或ƒ(x)=cosx。

當然周期函數在某些特定情況下沒有最小正周期，最為典型的例子就是Dirichlet函數，在其中任何正有理數都是周期，而我們知道正有理數不存在最小，因此此函數的周期也無法成為最小正周期。

反函數

一般我們接觸正函數，比如說有單射ƒ:X→ƒ(X)，那麼當我們說逆映射的時候，就有ƒ^-1:ƒ(X)→X，ƒ^-1在此定義下就是ƒ的反函數。如此一來我們可以得知，對每個y∈ƒ(X)，有唯一的x∈X，並使ƒ(x)=y，可以寫作：ƒ^-1(y)=x。