哥德巴赫猜想

哥德巴赫猜想是加法数论中的一个分支，1900年德国数学家希尔伯特专门介绍了这个重要的问题

希尔伯特的讲话

8. Problems of prime numbers
8=3+5，

36=31+5，

....。就是哥德巴赫猜想。

哥德巴赫猜想：任一大於2的偶數，都可表示成兩個質數之和。

当所有整数 $N+X$ 与 $N-X$ 都是素数-哥德巴赫猜想.

因为偶数2N=(N+X)+(N-X). 就是哥德巴赫猜想。

架构

若自然数n不能被不大于 ${\sqrt {n}}$ 任何素数整除，则n是一个素数。  
    
   
  可以把上面的汉字内容等价转换成为英语字母表示：  
   
   $n=p_{1}m_{1}+a_{1}=p_{2}m_{2}+a_{2}=\dots =p_{k}m_{k}+a_{k}.$ ......(1)  
   
  其中  $p_{1},p_{2},\dots ,p_{k}$ 表示顺序素数2，3，5，....。 $a$ ≠0。

  若 $n<P_{k+1}^{2}$ ,则n是一个素数。  
   
  我们可以把（1）式内容等价转换同余式组表示  ：

   $n\equiv a_{1}{\pmod {p_{1}}},n\equiv a_{2}{\pmod {p_{2}}},\dots ,n\equiv a_{k}{\pmod {p_{k}}}$ .......（2）  
   
  由于（2）的模 $p_{1}$ , $p_{2}$ ,..., $p_{k}$  两两互素， 
  根据孙子定理(中国剩余定理）知，对于给定的 $a_{1}$ , $a_{2}$ ,..., $a_{k}$ ，（2）式在 $p_{1}$  $p_{2}$ ... $p_{k}$ 范围内有唯一解。

范例

  k=1时， $n=2m_{1}+1$ ，解得n=3，5，7。求得了（3，3²）区间的全部素数。  
   
  k=2时， $n=2m_{1}+1=3m_{2}+1$ ，解得n=7，13，19；  $n=2m_{1}+1=3m_{2}+2$ ，

解得n=5，11，17，23。

  求得了（5，5²）区间的全部素数。

k=3时	$5m_{3}+1$	$5m_{3}+2$	$5m_{3}+3$	$5m_{3}+4$
$n=2m_{1}+1=3m_{2}+1=$	31	7,37	13,43	19
$n=2m_{1}+1=3m_{2}+2=$	11,41	17,47	23	29

  |}求得了（7,7²）区间的全部素数。  
   
  仿此下去可以求得任意大的数以内的全部素数。并且一个不漏地求得。 
  对于所有可能的 $a_{1},a_{2}\cdot ,a_{k}$ 值，(1)和(2)式在 $p_{1}$  $p_{2}$ ... $p_{k}$ 范围内，

有（ $p_{1}-1$ ）（ $p_{2}-1$ ）( $p_{3}-1$ )...（ $p_{k}-1$ ）个解。

（1）式（2）式与哥德巴赫猜想的合理框架

怎样使得两个自然数相加和相减都成为素数，即N+X成为素数，N-X也是素数。

根据除法算式定理：“给定正整数a和b，b≠0，存在唯一整数q和r（0≤r＜b），使a=bq+r”。

再根据同余定理：“每一整数恰与0,1,2,3，...，m-1中一数同余（mod m）”。

所以，任给一个自然数N(N>4)，都可以唯一表示成为：

$N=p_{1}m_{1}+e_{1}=p_{2}m_{2}+e_{2}=\dots =p_{k}m_{k}+e_{k}.$ (3)

其中 $p_{1},p_{2},\dots ,p_{k}$ 表示顺序素数2，3，5，....。 $e_{i}=0,1,2,...,P_{i}-1$ 。

${\frac {p_{k}^{2}}{2}}$ < N < ${\frac {p_{k+1}^{2}}{2}}$

现在问，是否存在X,

$X=p_{1}h_{1}+f_{1}=p_{2}h_{2}+f_{2}=\dots =p_{k}h_{k}+f_{k}.$ （4）

$f_{i}$ ≠ $e_{i}$ ，

$f_{i}$ ≠ $p_{i}-e_{i}$ 。

如果X<N-2，则N+X与N-X都是素数，因为它们符合（1）（2）式。

範例

設N=20， $20=2m_{1}+0=3m_{2}+2=5m_{3}+0$ ；

${\frac {5^{2}}{2}}$ < 20 < ${\frac {7^{2}}{2}}$

 $e_{1}=0$ , $e_{2}=2$ , $e_{3}=0$ .

构造x	$5h_{3}+1$	$5h_{3}+2$	$5h_{3}+3$	$5h_{3}+4$
$X=2h_{1}+1=3h_{2}+0=$	21	27	3	9
$f_{i}$ ≠ $e_{i}$ ， $f_{i}$ ≠ $p_{i}-e_{i}$	$f_{1}=1$ ， $f_{2}=0$ ， $f_{3}=1$ .	$f_{1}=1$ ， $f_{2}=0$ ， $f_{3}=2$ .	$f_{1}=1$ ， $f_{2}=0$ ， $f_{3}=3$ .	$f_{1}=1$ ， $f_{2}=0$ ， $f_{3}=4$ .

四个解是：21，27，3，9。小于N-2的X有3和9，我们得知，20+3与20-3是一对素数；20+9与20-9是一对素数。这就是利用素数判定法则：最小剩余不为零，并且 $N+X<P_{k+1}^{2}$ ,则N+X与N-X是一对素数。

因为（N+X）+（N-X）=2N。这就是著名的哥德巴赫猜想猜想， 我们需要证明（4）式必然有小于N-2的解，尽管我们现在不能证明它。埃拉托斯特尼筛法的普遍公式已经为哥德巴赫猜想提供了合理框架，并且把问题转入到初等数论范围。顺便补充一句，（N+X）+（N-X）=2N是一种一维对称（群，伽逻华20岁死于决斗，他留下的思想“群”是将万物绑在一起的粘合剂，对称无所不在，例如镜面对称是二维对称。）

以往证明都是错误的

设a,b,c是所谓“殆素数”，即n个素数的乘积：

是否【1+1】包含在【1+c】或者【a+b】之内？如果回答：是！
证明程式是否可以从【1+c】或者【a+b】到达【1+1】？如果回答：是！
【1+1】是否可以必然从【1+c】或者【a+b】中剥离出来？如果回答：是！
如果最后证明了【1+1】不能成立，前面三条就是错误的。

分析一，就是说，前面三条是在假定【1+1】必须正确的情况下的“成果”，这个就荒唐了，我们还不知道最后是否正确，就假定了最后成果必然正确。

分析二，如果前面三条不能成立或者不能肯定必然成立，怎么可以算是“成果”呢？也就是说，从v布龙开始，到王元潘承洞陈景润等都是建立在非逻辑前提下的证明，因此证明无效。

关于假定

假定。只能用在否定结果的证明中，例如，欧几里得证明素数无穷多个。假定a成立，可以推出b，得到c，c与a矛盾，所以假定的a不能成立，得到非a。
假定不能用在肯定的结论。假定a，可以推出b，得到c，c=a，或者c包含a，所以假定的a成立。（这个就是预期理由的错误）
为什么“假定”只能用于否定的结论，而不能用于肯定的结论？

一个对科学理论更强的逻辑制约因素是，它们是能够被证伪的。换一句话说，因为以后能够被观测作有意义的检验，理论一定有被证伪的可能性。这种证伪的判据是区分科学与伪科学的一种方法。原因在于证实的内在局限性，证实只能增加一个理论的可信度，却不能证明整个理论的完全正确。因为在未来的某一个时刻，总是会发现与理论有冲突的事例。

参见

孙子定理

外部链接

素数公式