院系:李煌數學研究院/橢圓曲線之研究

一

不定方程 $y^{2}=x^{3}+k$ 之李煌解:

${\begin{cases}x=2a^{2}+2{\sqrt {a^{4}-a{\sqrt {k}}}}\\y={ax}+{\frac {x^{2}}{4a}}\\a={\frac {y+{\sqrt {k}}}{2x}}\end{cases}}$ 或 ${\begin{cases}x=2a^{2}-2{\sqrt {a^{4}-a{\sqrt {k}}}}\\y={ax}+{\frac {x^{2}}{4a}}\\a={\frac {y+{\sqrt {k}}}{2x}}\end{cases}}$

推論：

二

存在無限多無理數a, 使得 $x=2a^{2}-2{\sqrt {a^{4}-a{\sqrt {3}}}}$ 之x為有理數

例如： $x=1,a={\frac {2+{\sqrt {3}}}{2}}$

例如： $x=2,a={\frac {{\sqrt {11}}+{\sqrt {3}}}{4}}$

存在無限多無理數a, 使得 $x=2a^{2}+2{\sqrt {a^{4}-a{\sqrt {3}}}}$ 之x為有理數

例如： $x=3,a={\frac {{\sqrt {30}}+{\sqrt {3}}}{6}}$

例如： $x=4,a={\frac {{\sqrt {67}}+{\sqrt {3}}}{6}}$

三

李煌橢圓曲線： $y^{2}=x^{3}+x^{2}-x-1$

存在 $y=(4a)(2a^{2}+1),\forall a\in \mathbb {Z}$ 李煌形式的無窮多整數解

存在 $y=a(a^{2}+2),\forall a\in \mathbb {Z}$ 李煌形式的無窮多整數解

不存在其它形式的整數解

例如： $a=13,y=(4a)(2a^{2}+1)=17628$

李煌橢圓曲線： $y^{2}=x^{3}+x^{2}-x-1$ 存在整數解(677,17628)

例如： $a=14,y=(4a)(2a^{2}+1)=22008$

李煌橢圓曲線： $y^{2}=x^{3}+x^{2}-x-1$ 存在整數解(785,22008)

四

若橢圓曲線(Legendre Normal Form)： $y^{2}=x\left(x-1\right)\left(x-\lambda \right)$ 存在解(m,n)，

可以等價變換為兩條李煌橢圓曲線

橢圓曲線(LH Curve)： $Y^{2}=X^{3}+{(1-\lambda -m)}X^{2}-{X}+(m+\lambda -1)$
橢圓曲線(LH Curve)： $Y^{2}=X^{3}+{(\lambda -1-m)}X^{2}-\lambda ^{2}{X}+\lambda ^{2}(m+1-\lambda )$