線性代數

線性公式

給定兩點A(0,0)與B($x_{o},y_{o}$)可以確定一條直線，該直線的斜率為：

$m={\frac {y_{o}}{x_{o}}}$

因此

$y_{o}=mx_{o}$

對於在此條直線上的點C($x,y$)，可得斜率m

$m={\frac {y-y_{o}}{x-x_{o}}}$

$y=y_{o}+m(x-x_{o})$

線性方程

通用的形式為

$Ax=0$	$x=0$
$Ax=C$	$x={\frac {C}{A}}$
$Ax+B=C$	$x={\frac {C-B}{A}}$
$Ax+By=C$	$x={\frac {C}{A}}$ （當 $y=0$ 時） $y={\frac {C}{B}}$ （當 $x=0$ 時）

線性方程組

例子

$2x+y=11\,$

$-4x+3y=13\,$

線性方程組的根

變量消去

$2x+y=11\,$

$-4x+3y=13\,$

將第一行乘2，並加到第二行

$4x+2y=22\,$

$-4x+3y=13\,$

可得

$5y=35\,$ => $y=7$

將第一行乘3，並加到第二行

$-6x-3y=-33\,$

$-4x+3y=13\,$

可得

$-10x=-20\,$ => $x=2$

替換

如果你看到一個像這樣的線性方程組

$2x+y=11\,$

$-4x+3y=13\,$

你可以將第一行通過移項得到

$y=-2x+11\,$

之後，你可以替換這一項到第二行，從而可得

$-4x+3(-2x+11)=13\,$

$-4x-6x+33=13\,$

$-10x+33=13\,$

$-10x=-20\,$

$x=2\,$

之後，你可以將 x = 2 代替到原方程組中的任一個方程，從而解得 y = 7。通常，當原方程組中有一項單獨的y時，使用這個方法更加簡單。

行列式

如果你看到了一個像這樣的方程組

$2x+y=11\,$

$-4x+3y=13\,$

用y來解

$x+{\frac {1}{2}}y={\frac {11}{2}}\,$

$x+{\frac {3}{-4}}y={\frac {13}{-4}}\,$

$y({\frac {1}{2}}-{\frac {3}{4}})={\frac {11}{2}}-{\frac {13}{-4}}$

$y={\frac {{\frac {11}{2}}-{\frac {13}{-4}}}{{\frac {1}{2}}-{\frac {3}{4}}}}$

用x來解

$2x+y=11\,$

${\frac {-4}{3}}x+y={\frac {13}{3}}\,$

$x(2-{\frac {-4}{3}})=11-{\frac {13}{3}}$

$x={\frac {{\frac {11}{2}}-{\frac {13}{-4}}}{{\frac {1}{2}}-{\frac {3}{4}}}}$

線性方程組的通解

$A_{1}x+B_{1}y=C_{1}$

$A_{2}x+B_{2}y=C_{2}$

消去變量x

$x+{\frac {B_{1}}{A_{1}}}y={\frac {C_{1}}{A_{1}}}$

$x+{\frac {B_{2}}{A_{2}}}y={\frac {C_{2}}{A_{2}}}$

二式相減

$y({\frac {B_{1}}{A_{1}}}-{\frac {B_{2}}{A_{2}}})={\frac {C_{1}}{A_{1}}}-{\frac {C_{2}}{A_{2}}}$

用y來解

$y={\frac {{\frac {C_{1}}{A_{1}}}-{\frac {C_{2}}{A_{2}}}}{{\frac {B_{1}}{A_{1}}}-{\frac {B_{2}}{A_{2}}}}}$

消去變量y

${\frac {A_{1}}{B_{1}}}x+y={\frac {C_{1}}{B_{1}}}$

${\frac {A_{2}}{B_{2}}}x+y={\frac {C_{2}}{B_{2}}}$

二式相減

$x({\frac {A_{1}}{B_{1}}}-{\frac {A_{2}}{B_{2}}})={\frac {C_{1}}{B_{1}}}-{\frac {C_{2}}{B_{2}}}$

用x來解

$x={\frac {{\frac {C_{1}}{B_{1}}}-{\frac {C_{2}}{B_{2}}}}{{\frac {A_{1}}{B_{1}}}-{\frac {A_{2}}{B_{2}}}}}$

參考

• 矩陣
• 維基百科：線性代數
• 維基教科書：線性代數

外部連結

• OER Matrices content at Wikieducator
• https://www.bilibili.com/video/av15463995 麻省理工學院 18.06 線性代數, 2005春季 - 視頻教程，中英字幕 Bilibili]
• https://github.com/apachecn/math/ 麻省理工學院 線性代數課程筆記
• Khan Academy Linear Algebra videos
• Interactive online programs and Linear Algebra tutorial