線性代數

線性公式

給定兩點A(0,0)與B( $x_{o},y_{o}$ )可以確定一條直線，該直線的斜率為：

m={\frac {y_{o}}{x_{o}}}

因此

y_{o}=mx_{o}

對於在此條直線上的點C( $x,y$ )，可得斜率m

m={\frac {y-y_{o}}{x-x_{o}}}

y=y_{o}+m(x-x_{o})

通用的形式為

2x+y=11\,

-4x+3y=13\,

2x+y=11\,

-4x+3y=13\,

將第一行乘2，並加到第二行

4x+2y=22\,

-4x+3y=13\,

可得

5y=35\,

=>

y=7

將第一行乘3，並加到第二行

-6x-3y=-33\,

-4x+3y=13\,

可得

-10x=-20\,

=>

x=2

如果你看到一個像這樣的線性方程組

2x+y=11\,

-4x+3y=13\,

你可以將第一行通過移項得到

y=-2x+11\,

之後，你可以替換這一項到第二行，從而可得

-4x+3(-2x+11)=13\,

-4x-6x+33=13\,

-10x+33=13\,

-10x=-20\,

x=2\,

之後，你可以將 x = 2 代替到原方程組中的任一個方程，從而解得 y = 7。通常，當原方程組中有一項單獨的y時，使用這個方法更加簡單。

如果你看到了一個像這樣的方程組

2x+y=11\,

-4x+3y=13\,

用y來解

x+{\frac {1}{2}}y={\frac {11}{2}}\,

x+{\frac {3}{-4}}y={\frac {13}{-4}}\,

y({\frac {1}{2}}-{\frac {3}{4}})={\frac {11}{2}}-{\frac {13}{-4}}

y={\frac {{\frac {11}{2}}-{\frac {13}{-4}}}{{\frac {1}{2}}-{\frac {3}{4}}}}

用x來解

2x+y=11\,

{\frac {-4}{3}}x+y={\frac {13}{3}}\,

x(2-{\frac {-4}{3}})=11-{\frac {13}{3}}

x={\frac {{\frac {11}{2}}-{\frac {13}{-4}}}{{\frac {1}{2}}-{\frac {3}{4}}}}

A_{1}x+B_{1}y=C_{1}

A_{2}x+B_{2}y=C_{2}

消去變量x

x+{\frac {B_{1}}{A_{1}}}y={\frac {C_{1}}{A_{1}}}

x+{\frac {B_{2}}{A_{2}}}y={\frac {C_{2}}{A_{2}}}

二式相減

y({\frac {B_{1}}{A_{1}}}-{\frac {B_{2}}{A_{2}}})={\frac {C_{1}}{A_{1}}}-{\frac {C_{2}}{A_{2}}}

用y來解

y={\frac {{\frac {C_{1}}{A_{1}}}-{\frac {C_{2}}{A_{2}}}}{{\frac {B_{1}}{A_{1}}}-{\frac {B_{2}}{A_{2}}}}}

消去變量y

{\frac {A_{1}}{B_{1}}}x+y={\frac {C_{1}}{B_{1}}}

{\frac {A_{2}}{B_{2}}}x+y={\frac {C_{2}}{B_{2}}}

二式相減

x({\frac {A_{1}}{B_{1}}}-{\frac {A_{2}}{B_{2}}})={\frac {C_{1}}{B_{1}}}-{\frac {C_{2}}{B_{2}}}

用x來解

x={\frac {{\frac {C_{1}}{B_{1}}}-{\frac {C_{2}}{B_{2}}}}{{\frac {A_{1}}{B_{1}}}-{\frac {A_{2}}{B_{2}}}}}