复数

複數（Complex number），是一種「複合的數」，由實數和虛數單位 $i$ 所組成。所有的複數都可表達成 $a + b i$ 。

虛數單位

為何需要虛數單位

解方程： $\frac{1}{2} x^{2} - 6 x + 37 = 0$

從以上一元二次方程的判別式 $b^{2} - 4 a c = 36 - 4 (\frac{1}{2}) (37) = 36 - 74 = - 38$ 中，我們發現36－74＝－38小於0，可以知道這條方程沒有實根。如果你不曾學過虛數，大概答至這裏便可了。若果你學了虛數，又應怎樣答呢？

你應答 $x = i$ 或 $- i$ ，其中 $i$ 是常數，其值為 $\sqrt{- 1}$ ，稱為虛數單位。

如上題：判別式= $36 - 74 = - 38$ ， $x = \frac{6 + \sqrt{- 38}}{1}$ , $\frac{6 - \sqrt{- 38}}{1}$

可記做： $x = 6 + \sqrt{38} i$ , $6 - \sqrt{38} i$

在古代，數學的應用大多用不着複數，因此人們並沒有對複數進行研究。

運算

\sqrt{- 9} = 3 i

\sqrt{- 2} = \sqrt{2} i

\sqrt{- x} = \sqrt{x} i

，其中

x \geq 0

\sqrt{- 9} \times \sqrt{- 2} = 3 i \times \sqrt{2} i = - \sqrt{18}

切記以下的計法不正確：

\sqrt{- 9} \times \sqrt{- 2} = \sqrt{(- 9) (- 2)} = \sqrt{18}

。

$\sqrt{x} \times \sqrt{y} = \sqrt{x y}$ 只能應用於 $x, y \geq 0$ 時，因為負數的開方是不連續的。

$i$ 的高次方會不斷作以下的循環：

i^{0} = 1

i^{1} = i

i^{2} = - 1

i^{3} = - i

i^{4} = 1

i^{5} = i

i^{6} = - 1

i^{7} = - i

...

練習

1.若 $n$ 是整數，試計算以下的值：

$i^{4 n}$
$i^{4 n + 1}$

$i^{4 n + 2}$
$i^{4 n + 3}$

2.设 $i$ 是虚数单位,若集合 $S \in {- 1, 0, 1}$ 则:

A $i \in S$

B $i^{2} \in S$

C $i^{3} \in S$

複數的表示：實部、虛部、軛、模

所有複數都可以表示成 $a + b i$ ，其中 $a, b$ 是實數。 $a$ 稱為實部，而 $b$ 稱為虛部。例如 $3 + 4 i$ 的實部就是 $3$ ，虛部是 $4$ 。

一個複數 $a + b i$ 的軛（Conjugates）是 $a - b i$ ， $3 + 4 i$ 的軛就是 $3 - 4 i$ 。如果某個複數是一條二次方程的根，其軛就是另一個根。例如 $x^{2} - 6 x + 25 = 0$ 的根就是 $3 + 4 i$ 和 $3 - 4 i$ 。

複數 $z$ 的軛寫作 $\bar{z}$ 。複數和其軛相乘，即 $z \times \bar{z} = (a + b i) (a - b i) = a (a) + a (b i) - a (b i) - (b i) (b i) = a^{2} + b^{2}$ ，是一個實數。將複數和軛相加， $z + \bar{z} = (a + b i) + (a - b i) = 2 a$ ，亦是一個實數，是其實部的兩倍。將複數減去複數的軛相減， $z - \bar{z} = (a + b i) - (a - b i) = 2 b i$ ，會得到其虛部的兩倍。 $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 稱為 $a + b i$ 的模或絕對值。

練習

運算

相等

两个复数 $z_{1}$ 和 $z_{2}$ ,如果实部与虚部都对应相等,我们说这两个复数相等,记作 $z_{1} = z_{2}$

四則運算

在四則運算上，複數運算和一般運算無甚差異：

加、減法：實部加實部，虛部加虛部： $(a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i$
乘法： $(a + b i) (c + d i) = a c + a d i + b c i + b i d i = a c + b d i^{2} + (a d + b c) i = (a c - b d) + (a d + b c) i$
除法：可將分母「實數化」，方法是分子、分母乘以分母的軛作擴分： $\frac{a + b i}{c + d i} = \frac{(a + b i) (c - d i)}{(c + d i) (c - d i)} = \frac{(a c + b d) + (b c - a d) i}{c^{2} + d^{2}}$

例１： $\frac{(1 - 2 i) (3 + 4 i) - (5 + 6 i)}{7 + 8 i} = \frac{11 - 2 i - (5 + 6 i)}{7 + 8 i}$ $= \frac{6 - 8 i}{7 + 8 i} = \frac{(6 - 8 i) (7 - 8 i)}{(7 + 8 i) (7 - 8 i)} = \frac{- 22 - 104 i}{113} = - \frac{22 + 104 i}{113}$

例２：求 $36 + 74 i^{2} - (\sqrt{74} i^{2})^{2}$ 之值。 $i^{2} = - 1$ ， $i^{4} = 1$ $36 + 74 i^{2} - 74 i^{4} = 36 - 74 - 74 = - 112$

例３：求 $6 \times \frac{i^{36}}{i^{11}} \div \frac{1}{6} - (\frac{1}{5} \times 36 i - \frac{1}{5} \times 11 i)$ 　之值。

原式= $6 \times i^{36 - 11} \times 6 - (\frac{1}{5} \times (36 - 11) i)$

$i^{36 - 11 = 25} = i$

原式 $= 36 i - (\frac{1}{5} \times 25 i)$

＝(36—5)i ＝ 31i

開方

要找一個複數的開 $n$ 次冪，可以先求 $(a + b i)^{n}$ 的展開式，再對應欲開 $n$ 次冪的複數的虛部和實數求解。

例： $x^{2} = i$ ，求 $x$ 。

(a + b i)^{2} = a^{2} + 2 a b i + (b i)^{2} = (a^{2} - b^{2}) + (2 a b) i

i = 0 + 1 i

a^{2} - b^{2} = 0; 2 a b = 1

解方程得 $a = b = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 或 $a = b = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，因此， $x = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} i$ 或 $x = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} i$

冪、對數

參見#冪、對數的計算。

复平面

我们知道，实数与数轴上的点一一对应，也就是说数轴可以看成实数的一个几何模型.那么能否为复数找一个几何模型呢?

有序数对

根据复数相等的定义复数 $z = a + b i (a, b \in R)$ 被它的实部和虚部玩意确定,即复数 $z$ 被有序实数对 $(a, b)$ 唯一确定;另一方面,有序实数对 $(a, b)$ 在平面直角坐标系中对应着唯一的点 $Z (a, b)$ .因此不难发现,可以在复数集与平面直角坐标系的点集之间建立一一对应关系.

建立了直角坐标系来表示复数的平面也称为复平面.

單位圓

单位圆指的是以复平面的原点为圆心，以1为半径的圆. 如果一个数 $z = a + b i$ 在复平面上所代表的点在单位圆上，那么它有这样的性质： $\bar{z} = a^{2} + b^{2} = 1$ .

歐拉公式

等式 $e^{i x} = \cos x + i \sin x$ 称为复数的欧拉公式（Euler's complex number formula）。當 $x$ 為 $π$ 時, $e^{i π} + 1 = 0$ 这是一道被誉为美妙无比的式子，因等式将数学内五个极重要的数： $e$ ， $i$ ， $π$ ， $1$ ， $0$ ，连起来.

冪、對數的計算

棣美弗公式

设复数 $z_{1} = r_{1} (\cos θ_{1} + \sin θ_{2}), z_{2} = r_{2} (\sin θ_{2} + \sin θ_{2})$ ，则 $z_{1} z_{2} = r_{1} r_{2} [\cos (θ_{1} + θ_{2}) + i \sin (θ_{1} + θ_{2})]$

幾何上的應用

向量

复数的向量为z=根号(a^2+b^2)

變換

位移

旋轉

例子

凡·奧貝爾定理的證明

高斯整數、艾森斯坦整數

質數

練習解答

練習一

1.

1
i
-1
-i

维基百科中的相关条目：

複數 (數學)

2.B