複數(Complex number),是一種「複合的數」,由實數和虛數單位所組成。所有的複數都可表達成。
- 解方程:
從以上一元二次方程的判別式中,我們發現36-74=-38小於0,可以知道這條方程沒有實根。如果你不曾學過虛數,大概答至這裏便可了。若果你學了虛數,又應怎樣答呢?
你應答或,其中是常數,其值為,稱為虛數單位。
如上題:判別式=,,
可記做:,
在古代,數學的應用大多用不着複數,因此人們並沒有對複數進行研究。
- ,其中
切記以下的計法不正確:
- 。
只能應用於時,因為負數的開方是不連續的。
的高次方會不斷作以下的循環:
- ...
1.若是整數,試計算以下的值:
2.設是虛數單位,若集合則:
A
B
C
所有複數都可以表示成,其中是實數。稱為實部,而稱為虛部。例如的實部就是,虛部是。
一個複數的軛(Conjugates)是,的軛就是。如果某個複數是一條二次方程的根,其軛就是另一個根。例如的根就是和。
複數的軛寫作。複數和其軛相乘,即,是一個實數。將複數和軛相加,,亦是一個實數,是其實部的兩倍。將複數減去複數的軛相減,,會得到其虛部的兩倍。
稱為的模或絕對值。
兩個複數和,如果實部與虛部都對應相等,我們說這兩個複數相等,記作
在四則運算上,複數運算和一般運算無甚差異:
- 加、減法:實部加實部,虛部加虛部:
- 乘法:
- 除法:可將分母「實數化」,方法是分子、分母乘以分母的軛作擴分:
例1:
例2:求之值。
,
例3:求 之值。
原式=
原式
=(36—5)i = 31i
要找一個複數的開次冪,可以先求的展開式,再對應欲開次冪的複數的虛部和實數求解。
例:,求。
解方程得或,因此,或
參見#冪、對數的計算。
我們知道,實數與數軸上的點一一對應,也就是說數軸可以看成實數的一個幾何模型.那麼能否為複數找一個幾何模型呢?
根據複數相等的定義複數被它的實部和虛部玩意確定,即複數被 有序實數對唯一確定;另一方面,有序實數對在平面直角坐標系中對應着唯一的點.因此不難發現,可以在複數集與平面直角坐標系的點集之間建立一一對應關係.
建立了直角坐標系來表示複數的平面也稱為複平面.
等式稱為複數的歐拉公式(Euler's complex number formula)。
當x為π時,
這是一道被譽為美妙無比的式子,因等式將數學內五個極重要的數:e,i,π,1,0,連起來.
複數的向量為z=根號(a^2+b^2)
1.
- 1
- i
- -1
- -i
2.B