复数

复数（Complex number），是一种“复合的数”，由实数和虚数单位 $i$ 所组成。所有的复数都可表达成 $a+bi$ 。

虚数单位

为何需要虚数单位

解方程： ${\frac {1}{2}}x^{2}-6x+37=0$

从以上一元二次方程的判别式 $b^{2}-4ac=36-4({\frac {1}{2}})(37)=36-74=-38$ 中，我们发现36－74＝－38小于0，可以知道这条方程没有实根。如果你不曾学过虚数，大概答至这里便可了。若果你学了虚数，又应怎样答呢？

你应答 $x=i$ 或 $-i$ ，其中 $i$ 是常数，其值为 ${\sqrt {-1}}$ ，称为虚数单位。

如上题：判别式= $36-74=-38$ ， $x={\frac {6+{\sqrt {-38}}}{1}}$ , ${\frac {6-{\sqrt {-38}}}{1}}$

可记做： $x=6+{\sqrt {38}}i$ , $6-{\sqrt {38}}i$

在古代，数学的应用大多用不着复数，因此人们并没有对复数进行研究。

运算

{\sqrt {-9}}=3i

{\sqrt {-2}}={\sqrt {2}}i

{\sqrt {-x}}={\sqrt {x}}i

，其中

x\geq 0

{\sqrt {-9}}\times {\sqrt {-2}}=3i\times {\sqrt {2}}i=-{\sqrt {18}}

切记以下的计法不正确：

{\sqrt {-9}}\times {\sqrt {-2}}={\sqrt {(-9)(-2)}}={\sqrt {18}}

。

${\sqrt {x}}\times {\sqrt {y}}={\sqrt {xy}}$ 只能应用于 $x,y\geq 0$ 时，因为负数的开方是不连续的。

$i$ 的高次方会不断作以下的循环：

i^{0}=1\,

i^{1}=i\,

i^{2}=-1\,

i^{3}=-i\,

i^{4}=1\,

i^{5}=i\,

i^{6}=-1\,

i^{7}=-i\,

...

练习

1.若 $n$ 是整数，试计算以下的值：

$i^{4n}$
$i^{4n+1}$

$i^{4n+2}$
$i^{4n+3}$

2.设 ${\textstyle i}$ 是虚数单位,若集合 $S\in \{-1,0,1\}$ 则:

A $i\in S$

B $i^{2}\in S$

C $i^{3}\in S$

复数的表示：实部、虚部、轭、模

所有复数都可以表示成 $a+bi$ ，其中 $a,b$ 是实数。 $a$ 称为实部，而 $b$ 称为虚部。例如 $3+4i$ 的实部就是 $3$ ，虚部是 $4$ 。

一个复数 $a+bi$ 的轭（Conjugates）是 $a-bi$ ， $3+4i$ 的轭就是 $3-4i$ 。如果某个复数是一条二次方程的根，其轭就是另一个根。例如 $x^{2}-6x+25=0$ 的根就是 $3+4i$ 和 $3-4i$ 。

复数 $z$ 的轭写作 ${\bar {z}}$ 。复数和其轭相乘，即 $z\times {\bar {z}}=(a+bi)(a-bi)=a(a)+a(bi)-a(bi)-(bi)(bi)=a^{2}+b^{2}$ ，是一个实数。将复数和轭相加， $z+{\bar {z}}=(a+bi)+(a-bi)=2a$ ，亦是一个实数，是其实部的两倍。将复数减去复数的轭相减， $z-{\bar {z}}=(a+bi)-(a-bi)=2bi$ ，会得到其虚部的两倍。 $|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ 称为 $a+bi$ 的模或绝对值。

练习

运算

相等

两个复数 $z_{1}$ 和 $z_{2}$ ,如果实部与虚部都对应相等,我们说这两个复数相等,记作 $z_{1}=z_{2}$

四则运算

在四则运算上，复数运算和一般运算无甚差异：

加、减法：实部加实部，虚部加虚部： $(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$
乘法： $(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bidi=ac+bdi^{2}+(ad+bc)i=(ac-bd)+(ad+bc)i$
除法：可将分母“实数化”，方法是分子、分母乘以分母的轭作扩分： ${\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}}={\frac {(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^{2}+d^{2}}}$

例１： ${\frac {(1-2i)(3+4i)-(5+6i)}{7+8i}}={\frac {11-2i-(5+6i)}{7+8i}}$ $={\frac {6-8i}{7+8i}}={\frac {(6-8i)(7-8i)}{(7+8i)(7-8i)}}={\frac {-22-104i}{113}}=-{\frac {22+104i}{113}}$

例２：求 $36+74i^{2}-({\sqrt {74}}i^{2})^{2}$ 之值。 $i^{2}=-1$ ， $i^{4}=1$ $36+74i^{2}-74i^{4}=36-74-74=-112$

例３：求 $6\times {\frac {i^{36}}{i^{11}}}\div {\frac {1}{6}}-({\frac {1}{5}}\times 36i-{\frac {1}{5}}\times 11i)$ 　之值。

原式= $6\times i^{36-11}\times 6-({\frac {1}{5}}\times (36-11)i)$

$i^{36-11=25}=i$

原式 $=36i-({\frac {1}{5}}\times 25i)$

＝(36—5)i ＝ 31i

开方

要找一个复数的开 $n$ 次幂，可以先求 $(a+bi)^{n}$ 的展开式，再对应欲开 $n$ 次幂的复数的虚部和实数求解。

例： $x^{2}=i$ ，求 $x$ 。

(a+bi)^{2}=a^{2}+2abi+(bi)^{2}=(a^{2}-b^{2})+(2ab)i

i=0+1i

a^{2}-b^{2}=0;2ab=1

解方程得 $a=b={\frac {\sqrt {2}}{2}}$ 或 $a=b=-{\frac {\sqrt {2}}{2}}$ ，因此， $x={\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i$ 或 $x=-{\frac {\sqrt {2}}{2}}-{\frac {\sqrt {2}}{2}}i$

幂、对数

参见#幂、对数的计算。

复平面

我们知道，实数与数轴上的点一一对应，也就是说数轴可以看成实数的一个几何模型.那么能否为复数找一个几何模型呢?

有序数对

根据复数相等的定义复数 $z=a+bi\ (a,b\in R)$ 被它的实部和虚部玩意确定,即复数 $z$ 被有序实数对 $(a,b)$ 唯一确定;另一方面,有序实数对 $(a,b)$ 在平面直角坐标系中对应着唯一的点 $Z(a,b)$ .因此不难发现,可以在复数集与平面直角坐标系的点集之间建立一一对应关系.