复数(Complex number),是一种“复合的数”,由实数和虚数单位所组成。所有的复数都可表达成。
- 解方程:
从以上一元二次方程的判别式中,我们发现36-74=-38小于0,可以知道这条方程没有实根。如果你不曾学过虚数,大概答至这里便可了。若果你学了虚数,又应怎样答呢?
你应答或,其中是常数,其值为,称为虚数单位。
如上题:判别式=,,
可记做:,
在古代,数学的应用大多用不着复数,因此人们并没有对复数进行研究。
- ,其中
切记以下的计法不正确:
- 。
只能应用于时,因为负数的开方是不连续的。
的高次方会不断作以下的循环:
- ...
1.若是整数,试计算以下的值:
2.设是虚数单位,若集合则:
A
B
C
所有复数都可以表示成,其中是实数。称为实部,而称为虚部。例如的实部就是,虚部是。
一个复数的轭(Conjugates)是,的轭就是。如果某个复数是一条二次方程的根,其轭就是另一个根。例如的根就是和。
复数的轭写作。复数和其轭相乘,即,是一个实数。将复数和轭相加,,亦是一个实数,是其实部的两倍。将复数减去复数的轭相减,,会得到其虚部的两倍。
称为的模或绝对值。
两个复数和,如果实部与虚部都对应相等,我们说这两个复数相等,记作
在四则运算上,复数运算和一般运算无甚差异:
- 加、减法:实部加实部,虚部加虚部:
- 乘法:
- 除法:可将分母“实数化”,方法是分子、分母乘以分母的轭作扩分:
例1:
例2:求之值。
,
例3:求 之值。
原式=
原式
=(36—5)i = 31i
要找一个复数的开次幂,可以先求的展开式,再对应欲开次幂的复数的虚部和实数求解。
例:,求。
解方程得或,因此,或
参见#幂、对数的计算。
我们知道,实数与数轴上的点一一对应,也就是说数轴可以看成实数的一个几何模型.那么能否为复数找一个几何模型呢?
根据复数相等的定义复数被它的实部和虚部玩意确定,即复数被 有序实数对唯一确定;另一方面,有序实数对在平面直角坐标系中对应着唯一的点.因此不难发现,可以在复数集与平面直角坐标系的点集之间建立一一对应关系.
建立了直角坐标系来表示复数的平面也称为复平面.
等式称为复数的欧拉公式(Euler's complex number formula)。
当x为π时,
这是一道被誉为美妙无比的式子,因等式将数学内五个极重要的数:e,i,π,1,0,连起来.
复数的向量为z=根号(a^2+b^2)
1.
- 1
- i
- -1
- -i
2.B