複數

複數（Complex number），是一種「複合的數」，由實數和虛數單位 $i$ 所組成。所有的複數都可表達成 $a+bi$ 。

虛數單位

為何需要虛數單位

解方程： ${\frac {1}{2}}x^{2}-6x+37=0$

從以上一元二次方程的判別式 $b^{2}-4ac=36-4({\frac {1}{2}})(37)=36-74=-38$ 中，我們發現36－74＝－38小於0，可以知道這條方程沒有實根。如果你不曾學過虛數，大概答至這裏便可了。若果你學了虛數，又應怎樣答呢？

你應答 $x=i$ 或 $-i$ ，其中 $i$ 是常數，其值為 ${\sqrt {-1}}$ ，稱為虛數單位。

如上題：判別式= $36-74=-38$ ， $x={\frac {6+{\sqrt {-38}}}{1}}$ , ${\frac {6-{\sqrt {-38}}}{1}}$

可記做： $x=6+{\sqrt {38}}i$ , $6-{\sqrt {38}}i$

在古代，數學的應用大多用不著複數，因此人們並沒有對複數進行研究。

運算

{\sqrt {-9}}=3i

{\sqrt {-2}}={\sqrt {2}}i

{\sqrt {-x}}={\sqrt {x}}i

，其中

x\geq 0

{\sqrt {-9}}\times {\sqrt {-2}}=3i\times {\sqrt {2}}i=-{\sqrt {18}}

切記以下的計法不正確：

{\sqrt {-9}}\times {\sqrt {-2}}={\sqrt {(-9)(-2)}}={\sqrt {18}}

。

${\sqrt {x}}\times {\sqrt {y}}={\sqrt {xy}}$ 只能應用於 $x,y\geq 0$ 時，因為負數的開方是不連續的。

$i$ 的高次方會不斷作以下的循環：

i^{0}=1\,

i^{1}=i\,

i^{2}=-1\,

i^{3}=-i\,

i^{4}=1\,

i^{5}=i\,

i^{6}=-1\,

i^{7}=-i\,

...

練習

1.若 $n$ 是整數，試計算以下的值：

$i^{4n}$
$i^{4n+1}$

$i^{4n+2}$
$i^{4n+3}$

2.設 ${\textstyle i}$ 是虛數單位,若集合 $S\in \{-1,0,1\}$ 則:

A $i\in S$

B $i^{2}\in S$

C $i^{3}\in S$

複數的表示：實部、虛部、軛、模

所有複數都可以表示成 $a+bi$ ，其中 $a,b$ 是實數。 $a$ 稱為實部，而 $b$ 稱為虛部。例如 $3+4i$ 的實部就是 $3$ ，虛部是 $4$ 。

一個複數 $a+bi$ 的軛（Conjugates）是 $a-bi$ ， $3+4i$ 的軛就是 $3-4i$ 。如果某個複數是一條二次方程的根，其軛就是另一個根。例如 $x^{2}-6x+25=0$ 的根就是 $3+4i$ 和 $3-4i$ 。

複數 $z$ 的軛寫作 ${\bar {z}}$ 。複數和其軛相乘，即 $z\times {\bar {z}}=(a+bi)(a-bi)=a(a)+a(bi)-a(bi)-(bi)(bi)=a^{2}+b^{2}$ ，是一個實數。將複數和軛相加， $z+{\bar {z}}=(a+bi)+(a-bi)=2a$ ，亦是一個實數，是其實部的兩倍。將複數減去複數的軛相減， $z-{\bar {z}}=(a+bi)-(a-bi)=2bi$ ，會得到其虛部的兩倍。 $|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ 稱為 $a+bi$ 的模或絕對值。

練習

運算

相等

兩個複數 $z_{1}$ 和 $z_{2}$ ,如果實部與虛部都對應相等,我們說這兩個複數相等,記作 $z_{1}=z_{2}$

四則運算

在四則運算上，複數運算和一般運算無甚差異：

加、減法：實部加實部，虛部加虛部： $(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$
乘法： $(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bidi=ac+bdi^{2}+(ad+bc)i=(ac-bd)+(ad+bc)i$
除法：可將分母「實數化」，方法是分子、分母乘以分母的軛作擴分： ${\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}}={\frac {(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^{2}+d^{2}}}$

例１： ${\frac {(1-2i)(3+4i)-(5+6i)}{7+8i}}={\frac {11-2i-(5+6i)}{7+8i}}$ $={\frac {6-8i}{7+8i}}={\frac {(6-8i)(7-8i)}{(7+8i)(7-8i)}}={\frac {-22-104i}{113}}=-{\frac {22+104i}{113}}$

例２：求 $36+74i^{2}-({\sqrt {74}}i^{2})^{2}$ 之值。 $i^{2}=-1$ ， $i^{4}=1$ $36+74i^{2}-74i^{4}=36-74-74=-112$

例３：求 $6\times {\frac {i^{36}}{i^{11}}}\div {\frac {1}{6}}-({\frac {1}{5}}\times 36i-{\frac {1}{5}}\times 11i)$ 　之值。

原式= $6\times i^{36-11}\times 6-({\frac {1}{5}}\times (36-11)i)$

$i^{36-11=25}=i$

原式 $=36i-({\frac {1}{5}}\times 25i)$

＝(36—5)i ＝ 31i

開方

要找一個複數的開 $n$ 次冪，可以先求 $(a+bi)^{n}$ 的展開式，再對應欲開 $n$ 次冪的複數的虛部和實數求解。

例： $x^{2}=i$ ，求 $x$ 。

(a+bi)^{2}=a^{2}+2abi+(bi)^{2}=(a^{2}-b^{2})+(2ab)i

i=0+1i

a^{2}-b^{2}=0;2ab=1

解方程得 $a=b={\frac {\sqrt {2}}{2}}$ 或 $a=b=-{\frac {\sqrt {2}}{2}}$ ，因此， $x={\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i$ 或 $x=-{\frac {\sqrt {2}}{2}}-{\frac {\sqrt {2}}{2}}i$

冪、對數

參見#冪、對數的計算。

複平面

我們知道，實數與數軸上的點一一對應，也就是說數軸可以看成實數的一個幾何模型.那麼能否為複數找一個幾何模型呢?

有序數對

根據複數相等的定義複數 $z=a+bi\ (a,b\in R)$ 被它的實部和虛部玩意確定,即複數 $z$ 被有序實數對 $(a,b)$ 唯一確定;另一方面,有序實數對 $(a,b)$ 在平面直角坐標系中對應著唯一的點 $Z(a,b)$ .因此不難發現,可以在複數集與平面直角坐標系的點集之間建立一一對應關係.