实数

来自维基学院
跳到导航 跳到搜索

Template:Nav

实数是什么?[编辑 | 编辑源代码]

不同类型的数属于各自的范围。自然数、分数、负整数等都是数的不同范围,它们都是实数。目前阶段我们的研究范围是实数。 实数可以划分为有理数无理数

有理数[编辑 | 编辑源代码]

有理数一般可以划分为整数(如2、-1)和分数(如3/4,-9/11)

数轴[编辑 | 编辑源代码]

假设画一条直线:这条直线没有头也没有尾,在它的上面取一个点,把它记作0,叫原点。在直线上的每一个点都代表一个实数(有理数或无理数),而且按照从小到大的顺序,从左向右排列在直线上。这些点非常密集,以至于直线上没有空隙。原点左边的数又叫负数,原点右边的数叫正数。这条用来表示实数的直线有一个名字,叫做数轴。数轴通常保持水平,从左向右表示由小到大的实数,数轴右边画上箭头作为标记(正方向)。数轴有三要素:原点,正方向、单位长度。

绝对值与相反数[编辑 | 编辑源代码]

每一个数所在数轴上所对应的点距原点的距离,被称为绝对值,比如2,它离原点0的距离就是2,绝对值也为2,记作|2|。我们通常用“+”和“-”来标记实数的正负,在后面加上绝对值来表示它到原点的距离。绝对值相等的正数和负数互为相反数0的相反数还是0。0被任何數減,差為其相反數。

0—5=—5

0被5減,差為—5,與5互為相反數。

0—11=—11

0被11減,差為—11,與11互為相反數。

0—(—74)=0+74=74

0與—74之差為74,與—74互為相反數。

无理数[编辑 | 编辑源代码]

无理数是指那些无限不循环小数,典型的一个例子是π(圆周率)。剩下的实数都是有理数。无理数可以在数轴上表示。

練習一[编辑 | 编辑源代码]

  1. 指出下列數字的绝对值。
  2. 下列哪些數是有理數?哪些数是無理數?
  3. 2的相反数的绝对值是多少?
  4. 化简下列各数

实数的加减乘除[编辑 | 编辑源代码]

运算法则[编辑 | 编辑源代码]

加减乘除[编辑 | 编辑源代码]

两个正数相加,等于它们的绝对值相加。 两个负数相加,等于它们的绝对值相加取相反数。

归纳:两个相同符号的数相加,结果为两数绝对值之和,负数則保留负号。

一个正数加上一个负数,由较大的绝对值减去较小的绝对值,并取较大绝对指数的符号。

两个实数相减,等于被减数加上减数的相反数,再通过加法法则运算。

两个正数相乘,等于它们的绝对值相乘。 两个负数相乘,等于它们的绝对值相乘 一个正数乘上一个负数,等于它们的绝对值相乘的相反数。

如果一直加减某一个数值,等于该数值乘上使用的次数。

例如用11减掉36,36与11之差=36-11=25。

如果一直用11减,36-11-11=14

36-11-11-11=3

36-11-11-11-11=-8

36-11-11-11-11-11=-19

(36被11减掉5次)

等于36-11×5=36-55=-19。

也等于“36被5减掉11次”

36-5-5-5-5-5-5-5-5-5-5-5=-19。

36-11-11-11-••• •••-11-11-11

如果36被11减掉101次,结果为

36-11×101=36-1111=-1075。

两个正数相除,等于它们的绝对值相除。 两个负数相除,等于它们的绝对值相除。 一个正数除以一个负数,或者一个负数除以一个正数,等于它们的绝对值相除取相反数。

0不能做除数,0作为除数没有意义

1/0=无意义,或1/0=∞。

練習二[编辑 | 编辑源代码]

計算下列式子

实数的乘方与开方[编辑 | 编辑源代码]

乘方、平方[编辑 | 编辑源代码]

乘方[编辑 | 编辑源代码]

x的n次方表示n个x相乘(n不等于0),写作。n的x次幂表示为乘方的结果。在这个式子中,x是底数,n是指数。当指数为0(底数除0外),值为1。如

负数的偶数次方是正数,奇数次方仍然是负数。n的0次方的(n不等于0)。0的任何次方(除0外)都是0。0的0次方没有意义。

一个数A与它自身的乘积称为A的平方,表示为。平方是一个很常用的概念,在实际生活中我们经常用平方单位来表示面积,比如:一块40cm×40cm()的方格。

平方根[编辑 | 编辑源代码]

相应地,假如一个数A可以表示为数B的平方,即A=,那么B称为A的平方根,写作

一般化的概念:

  • n个A相乘所得称为A的n次方(n又称作幂),写作
  • 如果,则称A为B的n次方根,写作

负数的平方是正数。 在实数范围内,负数没有平方根。

开方[编辑 | 编辑源代码]

无理数[编辑 | 编辑源代码]

用计算器计算一下,是不是发现结果是一串小数,前几位是这样:1.41421356?

这个小数还可以无限进行下去,假如你用手动开方的话,永远也不会算完。

(计算机事实上处理的是近似计算,省略了小数点后的某个位数,因此可以在短时间内得到答案。)

而且,这个小数是个无限不循环小数,也就是说,它是无理数。

通过对一类数字开方(平方之外,n次方也可),我们总可以得到无理数结果,当然无理数并不仅限于这些。

在学习了其它的一些代数方法之后,还有机会对无理数进行探讨。


关于实数部分,暂时就讲这么多,请进入下一课:整式