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實數

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實數是什麼?[編輯 | 編輯原始碼]

不同類型的數屬於各自的範圍。自然數、分數、負整數等都是數的不同範圍,它們都是實數。目前階段我們的研究範圍是實數。 實數可以劃分為有理數無理數

有理數[編輯 | 編輯原始碼]

有理數一般可以劃分為整數(如2、-1)和分數(如3/4,-9/11)

數軸[編輯 | 編輯原始碼]

假設畫一條直線:這條直線沒有頭也沒有尾,在它的上面取一個點,把它記作0,叫原點。在直線上的每一個點都代表一個實數(有理數或無理數),而且按照從小到大的順序,從左向右排列在直線上。這些點非常密集,以至於直線上沒有空隙。原點左邊的數又叫負數,原點右邊的數叫正數。這條用來表示實數的直線有一個名字,叫做數軸。數軸通常保持水平,從左向右表示由小到大的實數,數軸右邊畫上箭頭作為標記(正方向)。數軸有三要素:原點,正方向、單位長度。

絕對值與相反數[編輯 | 編輯原始碼]

每一個數所在數軸上所對應的點距原點的距離,被稱為絕對值,比如2,它離原點0的距離就是2,絕對值也為2,記作|2|。我們通常用「+」和「-」來標記實數的正負,在後面加上絕對值來表示它到原點的距離。絕對值相等的正數和負數互為相反數0的相反數還是0。0被任何數減,差為其相反數。

0—5=—5

0被5減,差為—5,與5互為相反數。

0—11=—11

0被11減,差為—11,與11互為相反數。

0—(—74)=0+74=74

0與—74之差為74,與—74互為相反數。

無理數[編輯 | 編輯原始碼]

無理數是指那些無限不循環小數,典型的一個例子是π(圓周率)。剩下的實數都是有理數。無理數可以在數軸上表示。

練習一[編輯 | 編輯原始碼]

  1. 指出下列數字的絕對值。
  2. 下列哪些數是有理數?哪些數是無理數?
  3. 2的相反數的絕對值是多少?
  4. 化簡下列各數

實數的加減乘除[編輯 | 編輯原始碼]

運算法則[編輯 | 編輯原始碼]

加減乘除[編輯 | 編輯原始碼]

兩個正數相加,等於它們的絕對值相加。 兩個負數相加,等於它們的絕對值相加取相反數。

歸納:兩個相同符號的數相加,結果為兩數絕對值之和,負數則保留負號。

一個正數加上一個負數,由較大的絕對值減去較小的絕對值,並取較大絕對指數的符號。

兩個實數相減,等於被減數加上減數的相反數,再通過加法法則運算。

兩個正數相乘,等於它們的絕對值相乘。 兩個負數相乘,等於它們的絕對值相乘 一個正數乘上一個負數,等於它們的絕對值相乘的相反數。

兩個正數相除,等於它們的絕對值相除。 兩個負數相除,等於它們的絕對值相除。 一個正數除以一個負數,或者一個負數除以一個正數,等於它們的絕對值相除取相反數。

0不能做除數,0作為除數沒有意義

1/0=無意義,或1/0=∞。

練習二[編輯 | 編輯原始碼]

計算下列式子

實數的乘方與開方[編輯 | 編輯原始碼]

乘方、平方[編輯 | 編輯原始碼]

乘方[編輯 | 編輯原始碼]

x的n次方表示n個x相乘(n不等於0),寫作。n的x次冪表示為乘方的結果。在這個式子中,x是底數,n是指數。當指數為0(底數除0外),值為1。如

負數的偶數次方是正數,奇數次方仍然是負數。n的0次方的(n不等於0)。0的任何次方(除0外)都是0。0的0次方沒有意義。

一個數A與它自身的乘積稱為A的平方,表示為。平方是一個很常用的概念,在實際生活中我們經常用平方單位來表示面積,比如:一塊40cm×40cm()的方格。

平方根[編輯 | 編輯原始碼]

相應地,假如一個數A可以表示為數B的平方,即A=,那麼B稱為A的平方根,寫作

一般化的概念:

  • n個A相乘所得稱為A的n次方(n又稱作冪),寫作
  • 如果,則稱A為B的n次方根,寫作

負數的平方是正數。 在實數範圍內,負數沒有平方根。

開方[編輯 | 編輯原始碼]

無理數[編輯 | 編輯原始碼]

用計算器計算一下,是不是發現結果是一串小數,前幾位是這樣:1.41421356?

這個小數還可以無限進行下去,假如你用手動開方的話,永遠也不會算完。

(計算機事實上處理的是近似計算,省略了小數點後的某個位數,因此可以在短時間內得到答案。)

而且,這個小數是個無限不循環小數,也就是說,它是無理數。

通過對一類數字開方(平方之外,n次方也可),我們總可以得到無理數結果,當然無理數並不僅限於這些。

在學習了其它的一些代數方法之後,還有機會對無理數進行探討。


關於實數部分,暫時就講這麼多,請進入下一課:整式