數學符號、語言與精确性

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在現代的符號中,簡單的表示式可能描繪出複雜的概念。此一圖像即產生自x=cos ( y arccos sin〡x〡 + x arcsin cos〡y〡)

主要內容[编辑 | 编辑源代码]

我們現今所使用的大部分數學符號在16世紀後才被發明出來的。[1]在此之前,數學以文字的形式書寫出來,這種形式會限制了數學的發展。現今的符號使得數學對於專家而言更容易掌握,但初學者卻常對此感到怯步。它被極度的壓縮:少量的符號包含著大量的訊息。如同音樂符號一般,現今的數學符號有明確的語法,並且有效地對訊息作編碼,這是其他書寫方式難以做到的。符号化和形式化使得数学迅速发展,并帮助各个科学领域建立基础支撑理论。

數學語言[编辑 | 编辑源代码]

數學語言亦對初學者而言感到困難。如“或”和“只”這些字有著比日常用語更精確的意思。亦困惱著初學者的,如“開放”和“”等字在數學裡有著特別的意思。數學術語亦包括如“同胚”及“可積性”等專有名詞。但使用這些特別符號和專有術語是有其原因的:數學需要比日常用語更多的精確性。數學家將此對語言及邏輯精確性的要求稱為「嚴謹」。但在现实应用中,舍弃一些严谨性往往会得到更好的结果。

數學嚴謹與數學證明[编辑 | 编辑源代码]

嚴謹數學證明中很重要且基本的一部份。數學家希望他們的定理以系統化的推理依著公理被推論下去。這是為了避免依著不可靠的直觀而推出錯誤的「定理」,而這情形在歷史上曾出現過許多的例子。[2]在數學中被期許的嚴謹程度因著時間而不同:希臘人期許著仔細的論證,但在牛頓的時代,所使用的方法則較不嚴謹。牛頓為了解決問題所做的定義,到了十九世紀才重新以小心的分析及正式的證明來處理。今日,數學家們則持續地在爭論電腦輔助證明的嚴謹度。當大量的計算難以被驗證時,其證明亦很難說是足夠地嚴謹。

公理在傳統的思想中是「不證自明的真理」,但這種想法是有問題的。在形式上,公理只是一串符號,其只對可以由公理系統導出的公式之內容有意義。希爾伯特計劃即是想將所有的數學放在堅固的公理基礎上,但依據哥德爾不完備定理,每一相容且能蘊涵皮亞諾公理的公理系統必含有一不可決定的公式;因而所有數學的最終公理化是不可能的。儘管如此,數學常常被想像成只是某種公理化的集合論,在此意義下,所有數學敘述或證明都可以寫成集合論的公式。

註解[编辑 | 编辑源代码]

  1. 不同數學符號的各別最早用途 (包含有更多的參考資料)
  2. 關於在正式的證明中出錯的一些簡單例子,參見無效證明。在四色定理的歷史中,亦有個曾被其他數學家所接受的錯誤證明。

延伸閱讀[编辑 | 编辑源代码]