數學的各領域應用

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早期的數學完全著重在演算實際運算的需要上,有如反映在中國算盤上的一般。

數學主要的學科最先產生於商業上計算的需要、了解數字間的關係、測量土地及預測天文事件。 這四種需要大致地與數量、結構、空間及變化(即算術代數幾何分析)等數學上廣泛的子領域相關連著。

除了上述主要的關注之外,亦有用來探索由數學核心至其他領域上之間的連結的子領域:至邏輯、至集合論基礎)、至不同科學的經驗上的數學(應用數學)、及較近代的至不確定性的嚴格研究。

基礎與哲學[编辑 | 编辑源代码]

為了闡明數學基礎數學邏輯集合論等領域被發展了出來。

數學邏輯專注於將數學置在一堅固的公理架構上,並研究此一架構的結果。就其本身而言,其為哥德爾第二不完備定理所屬的領域,而這或許是邏輯中最廣為流傳的成果-總存在一不能被證明而又為真的定理。現代邏輯被分成遞歸論模型論證明論,且和理論電腦科學有著密切的關連性,千禧年大獎難題中的P/NP問題就是理論電腦科學中的著名問題[1]

Venn A intersect B.svg MorphismComposition-01.png
數學邏輯 集合論 範疇論

纯粹数学[编辑 | 编辑源代码]

數量[编辑 | 编辑源代码]

數量的研究起於,一開始為熟悉的自然數整數與被描述在算術內的自然數及整數的算術運算。整數更深的性質於數論中有詳細的研究,此一理論包括了如費馬最後定理等著名的結果。數論還包括兩個被廣為探討的未解問題:孿生質數猜想哥德巴赫猜想[2]

當數系更進一步發展時,整數被視為有理數子集,而有理數則包含於實數中,連續的量即是以實數來表示的。實數則可以被進一步廣義化成複數。數的進一步廣義化可以持續至包含四元數八元數。從自然數亦可以推廣到超限數,它形式化了計數至無限的這一概念。另一個研究的領域為大小,這個導致了基數和之後對無限的另外一種概念:阿列夫数,它允許無限集合之間的大小可以做有意義的比較。

自然數 整數 有理數 實數 複數

結構[编辑 | 编辑源代码]

許多如數及函數的集合等數學物件都有著內含的結構。這些物件的結構性質被探討於等抽象系統中,該些物件事實上也就是這樣的系統。此為代數的領域。在此有一個很重要的概念,即廣義化至向量空間向量,它於線性代數中被研究。向量的研究結合了數學的三個基本領域:數量、結構及空間。向量分析則將其擴展至第四個基本的領域內,即變化。

创立于二十世纪三十年代的法国布尔巴基学派认为:纯粹数学,是研究抽象结构的理论。 结构,就是以初始概念和公理出发的演绎系统。

布尔巴基学派认为,有三种基本的抽象结构:代数结构……),序结构偏序全序……),拓扑结构邻域极限连通性维数……)[3]

Elliptic curve simple.png Rubik's cube.svg Group diagdram D6.svg Lattice of the divisibility of 60.svg
數論 群論 圖論 序理論

空間[编辑 | 编辑源代码]

空間的研究源自於幾何-尤其是欧几里得几何三角學則結合了空間及數,且包含有著名的勾股定理。現今對空間的研究更推廣到了更高維的幾何、非歐幾里得幾何(其在廣義相對論中扮演著核心的角色)及拓撲學

數和空間在解析幾何微分幾何代數幾何中都有著很重要的角色。在微分幾何中有著纖維叢流形上的微積分等概念。在代數幾何中有著如多項式方程的解集等幾何物件的描述,結合了數和空間的概念;亦有著拓撲群的研究,結合了結構與空間。

李群被用來研究空間、結構及變化。在其許多分支中,拓撲學可能是二十世紀數學中有著最大進展的領域,並包含有存在已久的龐加萊猜想,以及有爭議的四色定理。龐加萊猜想已在2006年确认由俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼證明[4],而四色定理已在1976年由凱尼斯·阿佩爾沃夫岡·哈肯用電腦證明[5],而從來沒有由人力來驗證過。

Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem.svg Sine cosine plot.svg Hyperbolic triangle.svg Torus.png Von koch 6 etapes.svg Measure illustration.png
幾何 三角學 微分幾何 拓撲學 分形 測度論

變化[编辑 | 编辑源代码]

了解及描述變化在自然科學裡是一普遍的議題,而微積分更為研究變化的有利工具。函數诞生於此,做為描述一變化的量的核心概念。對於實數及實變函數的嚴格研究為實分析,而複分析則為複數的等價領域。

黎曼猜想-數學最基本的未決問題之一-便是以複分析來描述的[6]泛函分析注重在函數的(一般為無限維)空間上。泛函分析的眾多應用之一為量子力學

許多的問題很自然地會導出一個量與其變化率之間的關係,而這在微分方程中被研究。在自然界中的許多現象可以被動力系統所描述;混沌理論則是對系統的既不可預測而又是決定的行為作明確的描述。

Integral as region under curve.svg Vectorfield jaredwf.png Airflow-Obstructed-Duct.png Limitcycle.jpg Lorenz attractor.svg Princ Argument C1.svg
微積分 向量分析 微分方程 動力系統 混沌理論 複分析

離散數學[编辑 | 编辑源代码]

離散數學是指對理論電腦科學最有用處的數學領域之總稱,這包含有可計算理論計算複雜性理論資訊理論。可計算理論檢驗電腦的不同理論模型之極限,這包含現知最有力的模型-圖靈機[7]

複雜性理論研究可以由電腦做為較易處理的程度;有些問題即使理論是可以以電腦解出來,但卻因為會花費太多的時間或空間而使得其解答仍然不為實際上可行的,儘管電腦硬體的快速進步。最後,資訊理論專注在可以儲存在特定媒介內的資料總量,且因此有壓縮等概念。

做為一相對較新的領域,離散數學有許多基本的未解問題。其中最有名的為P/NP問題千禧年大獎難題之一。[8]一般相信此問題的解答是否定的。 [9]

DFAexample.svg Caesar3.svg 6n-graf.svg
組合數學 計算理論 密碼學 圖論

應用數學[编辑 | 编辑源代码]

應用數學思考將抽象的數學工具運用在解答科學工商業及其他領域上之現實問題。應用數學中的一重要領域為統計學,它利用機率論為其工具並允許對含有機會成分的現象進行描述、分析與預測。大部份的實驗、調查及觀察研究需要統計對其資料的分析。然而許多的統計學家並不認為他們是數學家,而比較覺得是合作團體的一份子。

數值分析研究有什麼計算方法,可以有效地解決那些人力所限而算不出的數學問題;它亦包含了對計算中捨入誤差或其他來源的誤差之研究[10]

註解[编辑 | 编辑源代码]

  1. Clay Mathematics Institute, P=NP, claymath.org
  2. 哥德巴赫猜想. 輕輕鬆鬆學數學. 新亞洲出版社. [2013-10-05] (中文(台灣)‎). 
  3. 數學中的公理化方法(上) 吳開朗
  4. Malcolm Ritter. Russian mathematician rejects $1 million prize. Associated Press on PhysOrg. 2010-07-01 [2011-05-15]. 
  5. K. Appel, W. Haken. Research Announcement : Every planar map is four colorable. Bull. Amer. Math. Soc. 1976, 82 (5): 711–712 [2013-03-04].  已忽略未知参数|month=(建议使用|date=) (帮助)
  6. 黎曼猜想
  7. 图灵机与计算问题
  8. 克雷數學研究所P=NP
  9. P=NP的民調顯示2005年大眾相信它並不相等。(看section 5)
  10. Matlab教材:數值計算無可避免的誤差

延伸閱讀[编辑 | 编辑源代码]