数学符号、语言与精确性

来自维基学院
在现代的符号中,简单的表示式可能描绘出复杂的概念。此一图像即产生自x=cos ( y arccos sin〡x〡 + x arcsin cos〡y〡)

主要内容[编辑 | 编辑源代码]

我们现今所使用的大部分数学符号在16世纪后才被发明出来的。[1]在此之前,数学以文字的形式书写出来,这种形式会限制了数学的发展。现今的符号使得数学对于专家而言更容易掌握,但初学者却常对此感到怯步。它被极度的压缩:少量的符号包含着大量的讯息。如同音乐符号一般,现今的数学符号有明确的语法,并且有效地对讯息作编码,这是其他书写方式难以做到的。符号化和形式化使得数学迅速发展,并帮助各个科学领域建立基础支撑理论。

数学语言[编辑 | 编辑源代码]

数学语言亦对初学者而言感到困难。如“或”和“只”这些字有着比日常用语更精确的意思。亦困恼著初学者的,如“开放”和“”等字在数学里有着特别的意思。数学术语亦包括如“同胚”及“可积性”等专有名词。但使用这些特别符号和专有术语是有其原因的:数学需要比日常用语更多的精确性。数学家将此对语言及逻辑精确性的要求称为“严谨”。但在现实应用中,舍弃一些严谨性往往会得到更好的结果。

数学严谨与数学证明[编辑 | 编辑源代码]

严谨数学证明中很重要且基本的一部分。数学家希望他们的定理以系统化的推理依著公理被推论下去。这是为了避免依著不可靠的直观而推出错误的“定理”,而这情形在历史上曾出现过许多的例子。[2]在数学中被期许的严谨程度因着时间而不同:希腊人期许著仔细的论证,但在牛顿的时代,所使用的方法则较不严谨。牛顿为了解决问题所做的定义,到了十九世纪才重新以小心的分析及正式的证明来处理。今日,数学家们则持续地在争论电脑辅助证明的严谨度。当大量的计算难以被验证时,其证明亦很难说是足够地严谨。

公理在传统的思想中是“不证自明的真理”,但这种想法是有问题的。在形式上,公理只是一串符号,其只对可以由公理系统导出的公式之内容有意义。希尔伯特计划即是想将所有的数学放在坚固的公理基础上,但依据哥德尔不完备定理,每一相容且能蕴涵皮亚诺公理的公理系统必含有一不可决定的公式;因而所有数学的最终公理化是不可能的。尽管如此,数学常常被想像成只是某种公理化的集合论,在此意义下,所有数学叙述或证明都可以写成集合论的公式。

注解[编辑 | 编辑源代码]

  1. 不同数学符号的各别最早用途 (包含有更多的参考资料)
  2. 关于在正式的证明中出错的一些简单例子,参见无效证明。在四色定理的历史中,亦有个曾被其他数学家所接受的错误证明。

延伸阅读[编辑 | 编辑源代码]