活塞運動方程

来自维基学院
跳到导航 跳到搜索

本篇以數學公式說明,從連桿聯結到曲柄的非偏移活塞運動(在內燃機中);並且就這些運動方程式如何導出,附一示例圖。

曲軸幾何[编辑 | 编辑源代码]

活塞销、曲柄销和曲柄中心几何布局示意图

定義[编辑 | 编辑源代码]

活塞桿長度(活塞銷與曲柄銷之間的距離)
曲柄半徑(曲柄銷與曲柄中心之間的距離,即半行程)
曲軸轉角(從缸膛中心線開始)
活塞銷位置(從曲軸中心沿缸膛中心線向上)
活塞銷速度(從曲軸中心沿缸膛中心線向上)
活塞銷加速度(從曲軸中心沿缸膛中心線向上)
曲柄角速度

角速度[编辑 | 编辑源代码]

所述曲軸的角速度,即是發動機每分鐘轉數(RPM):

三角關係[编辑 | 编辑源代码]

如圖所示,曲柄銷,曲柄中心和活塞銷形成角NOP。根據餘弦定理可以看出:

關於角度位置的方程(角度域)[编辑 | 编辑源代码]

以下公式描述活塞相對於曲軸轉角的往復運動。下面顯示了這些方程的示例圖。

位置[编辑 | 编辑源代码]

相對於曲軸轉角的位置(通過重新排列三角關係):

速度[编辑 | 编辑源代码]

相對於曲軸轉角的速度(採用一階導數,使用链式法则):

加速[编辑 | 编辑源代码]

關於曲軸轉角的加速度(採用二階導數,使用链式法则和商法則):

時間方程(時域)[编辑 | 编辑源代码]

角速度導數[编辑 | 编辑源代码]

如果角速度是恆定的,那麼

並適用以下關係:

從角度域轉換到時域[编辑 | 编辑源代码]

下面的等式描述了活塞相對於時間的往復運動。如果時間域是必需的,而不是角度域,先用 ω 取代在等式噸,然後擴展為角速度如下:

位置[编辑 | 编辑源代码]

單純相對於時間的位置即是:

速度[编辑 | 编辑源代码]

相對於時間的速度(使用链式法则):

加速[编辑 | 编辑源代码]

相對於時間的加速度(使用链式法则和乘積法則以及角速度導數):

角速度的比例關係[编辑 | 编辑源代码]

速度最大值/最小值[编辑 | 编辑源代码]

加速過零點[编辑 | 编辑源代码]

速度的最大值和最小值都沒有在曲柄角度發生(A)加或減90°。速度最大值和最小值出現在取決於桿長(l)和半行程(r)的曲柄角上,並且對應於加速度為零(橫過水平軸)的曲柄角。

曲柄桿角度不正確[编辑 | 编辑源代码]

當曲柄與桿成直角時,速度最大值和最小值不一定會發生。有反例證明當曲柄角度正確時速度最大值/最小值出現的觀點。

示例[编辑 | 编辑源代码]

對於 6 英吋的連桿長和 2 英吋的曲柄半徑,通過數值求解加速度過零點,可確定速度最大值/最小值在曲柄角±73.17615°處。然後使用三角正弦定律,發現曲柄角為88.21738°,桿垂直角為18.60647°。在這個例子中,顯然地曲柄和連桿之間的角度並不是直角。

總結三角形的角度 88.21738°+ 18.60647°+ 73.17615°給出 180.000°。這個反例就反駁了“速度最大值/最小值是發生在當曲柄與桿成直角時”的說法。

活塞運動示例圖[编辑 | 编辑源代码]

曲線圖顯示了相對於曲軸轉角的 x,x',x" 的各種半衝程,其中 L =長度(l)和 R =半行程(r):

The vertical axis units are inches for position, [inches/rad] for velocity, [inches/rad²] for acceleration.
The horizontal axis units are crank angle degrees.

杆长和曲柄半径与上图相同的活塞动画:

活塞各半冲程动画

參考文獻[编辑 | 编辑源代码]

延伸閱讀[编辑 | 编辑源代码]

  • John Benjamin Heywood, Internal Combustion Engine Fundamentals, McGraw Hill, 1989.
  • Charles Fayette Taylor, The Internal Combustion Engine in Theory and Practice, Vol. 1 & 2, 2nd Edition, MIT Press 1985.

外部链接[编辑 | 编辑源代码]