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活塞運動方程

來自維基學院

本篇以數學公式說明,從連桿聯結到曲柄的非偏移活塞運動(在內燃機中);並且就這些運動方程式如何導出,附一示例圖。

曲軸幾何

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活塞銷、曲柄銷和曲柄中心幾何布局示意圖
活塞桿長度(活塞銷與曲柄銷之間的距離)
曲柄半徑(曲柄銷與曲柄中心之間的距離,即半行程)
曲軸轉角(從缸膛中心線開始)
活塞銷位置(從曲軸中心沿缸膛中心線向上)
活塞銷速度(從曲軸中心沿缸膛中心線向上)
活塞銷加速度(從曲軸中心沿缸膛中心線向上)
曲柄角速度

角速度

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所述曲軸的角速度,即是發動機每分鐘轉數(RPM):

三角關係

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如圖所示,曲柄銷,曲柄中心和活塞銷形成角NOP。根據餘弦定理可以看出:

關於角度位置的方程(角度域)

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以下公式描述活塞相對於曲軸轉角的往復運動。下面顯示了這些方程的示例圖。

相對於曲軸轉角的位置(通過重新排列三角關係):

相對於曲軸轉角的速度(採用一階導數,使用鏈式法則):

關於曲軸轉角的加速度(採用二階導數,使用鏈式法則和商法則):

時間方程(時域)

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角速度導數

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如果角速度是恆定的,那麼

並適用以下關係:

從角度域轉換到時域

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下面的等式描述了活塞相對於時間的往復運動。如果時間域是必需的,而不是角度域,先用 ω 取代在等式噸,然後擴展為角速度如下:

單純相對於時間的位置即是:

相對於時間的速度(使用鏈式法則):

相對於時間的加速度(使用鏈式法則和乘積法則以及角速度導數):

角速度的比例關係

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速度最大值/最小值

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加速過零點

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速度的最大值和最小值都沒有在曲柄角度發生(A)加或減90°。速度最大值和最小值出現在取決於桿長(l)和半行程(r)的曲柄角上,並且對應於加速度為零(橫過水平軸)的曲柄角。

曲柄桿角度不正確

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當曲柄與桿成直角時,速度最大值和最小值不一定會發生。有反例證明當曲柄角度正確時速度最大值/最小值出現的觀點。

對於 6 英吋的連桿長和 2 英吋的曲柄半徑,通過數值求解加速度過零點,可確定速度最大值/最小值在曲柄角±73.17615°處。然後使用三角正弦定律,發現曲柄角為88.21738°,桿垂直角為18.60647°。在這個例子中,顯然地曲柄和連桿之間的角度並不是直角。

總結三角形的角度 88.21738°+ 18.60647°+ 73.17615°給出 180.000°。這個反例就反駁了「速度最大值/最小值是發生在當曲柄與桿成直角時」的說法。

活塞運動示例圖

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曲線圖顯示了相對於曲軸轉角的 x,x',x" 的各種半衝程,其中 L =長度(l)和 R =半行程(r):

The vertical axis units are inches for position, [inches/rad] for velocity, [inches/rad²] for acceleration.
The horizontal axis units are crank angle degrees.

杆長和曲柄半徑與上圖相同的活塞動畫:

活塞各半衝程動畫

參考文獻

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延伸閱讀

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  • John Benjamin Heywood, Internal Combustion Engine Fundamentals, McGraw Hill, 1989.
  • Charles Fayette Taylor, The Internal Combustion Engine in Theory and Practice, Vol. 1 & 2, 2nd Edition, MIT Press 1985.

外部鏈接

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