本篇以数学公式说明,从连杆联结到曲柄的非偏移活塞运动(在内燃机中);并且就这些运动方程式如何导出,附一示例图。
- 活塞杆长度(活塞销与曲柄销之间的距离)
- 曲柄半径(曲柄销与曲柄中心之间的距离,即半行程)
- 曲轴转角(从缸膛中心线开始)
- 活塞销位置(从曲轴中心沿缸膛中心线向上)
- 活塞销速度(从曲轴中心沿缸膛中心线向上)
- 活塞销加速度(从曲轴中心沿缸膛中心线向上)
- 曲柄角速度
所述曲轴的角速度,即是发动机每分钟转数(RPM):
如图所示,曲柄销,曲柄中心和活塞销形成角NOP。根据余弦定理可以看出:
以下公式描述活塞相对于曲轴转角的往复运动。下面显示了这些方程的示例图。
相对于曲轴转角的位置(通过重新排列三角关系):
相对于曲轴转角的速度(采用一阶导数,使用链式法则):
关于曲轴转角的加速度(采用二阶导数,使用链式法则和商法则):
如果角速度是恒定的,那么
并适用以下关系:
下面的等式描述了活塞相对于时间的往复运动。如果时间域是必需的,而不是角度域,先用 ω 取代在等式吨,然后扩展为角速度如下:
单纯相对于时间的位置即是:
相对于时间的速度(使用链式法则):
相对于时间的加速度(使用链式法则和乘积法则以及角速度导数):
速度的最大值和最小值都没有在曲柄角度发生(A)加或减90°。速度最大值和最小值出现在取决于杆长(l)和半行程(r)的曲柄角上,并且对应于加速度为零(横过水平轴)的曲柄角。
当曲柄与杆成直角时,速度最大值和最小值不一定会发生。有反例证明当曲柄角度正确时速度最大值/最小值出现的观点。
对于 6 英寸的连杆长和 2 英寸的曲柄半径,通过数值求解加速度过零点,可确定速度最大值/最小值在曲柄角±73.17615°处。然后使用三角正弦定律,发现曲柄角为88.21738°,杆垂直角为18.60647°。在这个例子中,显然地曲柄和连杆之间的角度并不是直角。
总结三角形的角度 88.21738°+ 18.60647°+ 73.17615°给出 180.000°。这个反例就反驳了“速度最大值/最小值是发生在当曲柄与杆成直角时”的说法。
曲线图显示了相对于曲轴转角的 x,x',x" 的各种半冲程,其中 L =长度(l)和 R =半行程(r):
杆长和曲柄半径与上图相同的活塞动画:
- John Benjamin Heywood, Internal Combustion Engine Fundamentals, McGraw Hill, 1989.
- Charles Fayette Taylor, The Internal Combustion Engine in Theory and Practice, Vol. 1 & 2, 2nd Edition, MIT Press 1985.