活塞运动方程

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本篇以数学公式说明,从连杆联结到曲柄的非偏移活塞运动(在内燃机中);并且就这些运动方程式如何导出,附一示例图。

曲轴几何[编辑 | 编辑源代码]

活塞销、曲柄销和曲柄中心几何布局示意图

定义[编辑 | 编辑源代码]

活塞杆长度(活塞销与曲柄销之间的距离)
曲柄半径(曲柄销与曲柄中心之间的距离,即半行程)
曲轴转角(从缸膛中心线开始)
活塞销位置(从曲轴中心沿缸膛中心线向上)
活塞销速度(从曲轴中心沿缸膛中心线向上)
活塞销加速度(从曲轴中心沿缸膛中心线向上)
曲柄角速度

角速度[编辑 | 编辑源代码]

所述曲轴的角速度,即是发动机每分钟转数(RPM):

三角关系[编辑 | 编辑源代码]

如图所示,曲柄销,曲柄中心和活塞销形成角NOP。根据余弦定理可以看出:

关于角度位置的方程(角度域)[编辑 | 编辑源代码]

以下公式描述活塞相对于曲轴转角的往复运动。下面显示了这些方程的示例图。

位置[编辑 | 编辑源代码]

相对于曲轴转角的位置(通过重新排列三角关系):

速度[编辑 | 编辑源代码]

相对于曲轴转角的速度(采用一阶导数,使用链式法则):

加速[编辑 | 编辑源代码]

关于曲轴转角的加速度(采用二阶导数,使用链式法则和商法则):

时间方程(时域)[编辑 | 编辑源代码]

角速度导数[编辑 | 编辑源代码]

如果角速度是恒定的,那么

并适用以下关系:

从角度域转换到时域[编辑 | 编辑源代码]

下面的等式描述了活塞相对于时间的往复运动。如果时间域是必需的,而不是角度域,先用 ω 取代在等式吨,然后扩展为角速度如下:

位置[编辑 | 编辑源代码]

单纯相对于时间的位置即是:

速度[编辑 | 编辑源代码]

相对于时间的速度(使用链式法则):

加速[编辑 | 编辑源代码]

相对于时间的加速度(使用链式法则和乘积法则以及角速度导数):

角速度的比例关系[编辑 | 编辑源代码]

速度最大值/最小值[编辑 | 编辑源代码]

加速过零点[编辑 | 编辑源代码]

速度的最大值和最小值都没有在曲柄角度发生(A)加或减90°。速度最大值和最小值出现在取决于杆长(l)和半行程(r)的曲柄角上,并且对应于加速度为零(横过水平轴)的曲柄角。

曲柄杆角度不正确[编辑 | 编辑源代码]

当曲柄与杆成直角时,速度最大值和最小值不一定会发生。有反例证明当曲柄角度正确时速度最大值/最小值出现的观点。

示例[编辑 | 编辑源代码]

对于 6 英寸的连杆长和 2 英寸的曲柄半径,通过数值求解加速度过零点,可确定速度最大值/最小值在曲柄角±73.17615°处。然后使用三角正弦定律,发现曲柄角为88.21738°,杆垂直角为18.60647°。在这个例子中,显然地曲柄和连杆之间的角度并不是直角。

总结三角形的角度 88.21738°+ 18.60647°+ 73.17615°给出 180.000°。这个反例就反驳了“速度最大值/最小值是发生在当曲柄与杆成直角时”的说法。

活塞运动示例图[编辑 | 编辑源代码]

曲线图显示了相对于曲轴转角的 x,x',x" 的各种半冲程,其中 L =长度(l)和 R =半行程(r):

The vertical axis units are inches for position, [inches/rad] for velocity, [inches/rad²] for acceleration.
The horizontal axis units are crank angle degrees.

杆长和曲柄半径与上图相同的活塞动画:

活塞各半冲程动画

参考文献[编辑 | 编辑源代码]

延伸阅读[编辑 | 编辑源代码]

  • John Benjamin Heywood, Internal Combustion Engine Fundamentals, McGraw Hill, 1989.
  • Charles Fayette Taylor, The Internal Combustion Engine in Theory and Practice, Vol. 1 & 2, 2nd Edition, MIT Press 1985.

外部链接[编辑 | 编辑源代码]