院系:李煌數學研究院/代數幾何之研究

一

下面兩個方程中的c是相同的，是常數，且滿足條件$\forall c\neq 0\in \mathbb {Z}$ 代數幾何曲線不定方程 $x^{3}={18}{y^{2}}+54c^{12}$僅有一組正整數解。

proof: 由李煌恆等式 $(3{c^{6}}+{y})^{3}+(3{c^{6}}-{y})^{3}\equiv (18y^{2}+54c^{12})c^{6}$ 證畢！

二

下面兩個方程中的c是相同的，是常數，且滿足條件 $\forall c\neq 0\in \mathbb {Z}$ 代數幾何曲線不定方程 $x^{3}={6}{y^{2}}+1458c^{12}$僅有一組正整數解。

proof: 由李煌恆等式 $(27{c^{6}}+{y})^{3}+(27{c^{6}}-{y})^{3}\equiv 27(6y^{2}+1458c^{12}){c^{6}}$ 證畢！

三

下面兩個方程中的c是相同的，是常數，且滿足條件 $\forall c\neq 0\in \mathbb {Z}$ 代數幾何曲線不定方程 $x^{3}={3}{y^{2}}+11664c^{12}$僅有一組正整數解。

proof: 由李煌恆等式 $(108{c^{6}}+{y})^{3}+(108{c^{6}}-{y})^{3}\equiv 6^{3}(3y^{2}+11664c^{12})c^{6}$ 證畢！

四

下面兩個方程中的c是相同的，是常數，且滿足條件 $\forall c\neq 0\in \mathbb {Z}$ 代數幾何曲線不定方程 $x^{3}={2}{y^{2}}+39366c^{12}$僅有一組正整數解。

五

該研究之發現，已經在西人之網站看到，故懷疑是屬於「重複發現」

網址：http://math.stackexchange.com/questions/4990/how-could-i-calculate-the-rank-of-the-elliptic-curve-y2-x3-432

該文內的提問是2010年，但回答是2015年8月份，我的研究是2014年獨立發現的，我不知道是不是那個西方人看到我的研究，剽竊過去的，如果不是，希望他能夠和我聯繫

但文章沒有給出這個恆等式，但是意思完全一樣，所以研究「失敗」。

代數幾何曲線不定方程 $x^{3}=y^{2}+432c^{6},c\neq 0\in \mathbb {Z}$僅有壹組正整數解

• proof:

因為：李煌恆等式$(36{c^{3}}+y)^{3}+(36{c^{3}}-y)^{3}\equiv {(6c)^{3}}(y^{2}+432c^{6})$

所以：不定方程$x^{3}=y^{2}+432c^{6}$，$c\neq 0\in \mathbb {Z}$僅有壹組正整數解.

• 例如：c=1, =>不定方程$x^{3}=y^{2}+432$，僅有壹組正整數解(x=12,y=36).
• 例如：c=2, =>不定方程$x^{3}=y^{2}+27648$，僅有壹組正整數解(x=48,y=288).

proof: 由李煌恆等式 $(243{c^{6}}+{y})^{3}+(243{c^{6}}-{y})^{3}\equiv 9^{3}(2y^{2}+39366c^{12})c^{6}$ 證畢！

參考文獻

[1]

來源

• 《南昌理工學院學報》.李煌
• http://www.mftp.info/20140202/1392101138x1873735091.jpg

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