數學形成、純數學與應用數學及美學
- 數學之形成
每當有涉及數量、結構、空間及變化等方面的困難問題時，通常就需要用到數學工具去解決問題，而這往往也拓展了數學的研究範疇。一開始，數學的運用可見於貿易、土地測量及之後的天文學。今日，所有的科學都存在着值得數學家研究的問題，且數學本身亦給出了許多的問題。
牛頓和萊布尼茲是微積分的發明者，費曼發明了費曼路徑積分，這是推理及物理洞察二者的產物，而今日的弦理論亦引申出新的數學。
- 純數學
一些數學只和生成它的領域有關，且用來解答此領域的更多問題。但一般被一領域生成的數學在其他許多領域內也十分有用，且可以成為一般的數學概念。即使是「最純的」數學通常亦有實際的用途，此一非比尋常的事實，被1963年諾貝爾物理獎得主維格納稱為「數學在自然科學中不可想像的有效性」。[1]
- 數學之應用
如同大多數的研究領域，科學知識的爆發導致了數學的專業化。主要的分歧為純數學和應用數學。在應用數學內，又被分成兩大領域，並且變成了它們自身的學科——統計學和電腦科學。
- 數學之美學
許多數學家談論數學的優美，其內在的美學及美。「簡單」和「一般化」即為美的一種。另外亦包括巧妙的證明，如歐幾里得對存在無限多質數的證明；又或者是加快計算的數值方法，如快速傅立葉變換。高德菲·哈羅德·哈代在《一個數學家的自白》一書中表明他相信單單是美學上的意義，就已經足夠作為純數學研究的正當理由。
- ↑ 為什麼數學的用處這麼大？科學月刊1975 /蕭福坤（譯）